Inégalités pour l’opérateur intégral fractionnaire sur différents espaces métriques mesurés
Annales Mathématiques Blaise Pascal, Tome 18 (2011) no. 2, pp. 273-300.

Le but de cet article est d’étendre les résultats classiques (inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev, inégalité de Hedberg) sur l’intégrale fractionnaire à deux types différents d’espaces métriques mesurés : les espaces métriques mesurés à mesure doublante d’une part, les espaces métriques mesurés à croissance polynomiale du volume d’autre part. Les deux résultats principaux que nous obtenons sont les suivants :

Etant donné (X,ρ,μ) un espace métrique mesuré de type homogène, étant donnés p,q,αR tels que 1p<1/α, 1/q=1/p-α, 0<α<1, l’opérateur intégral fractionnaire T α défini en posant T α f(x)= X V(x,y) α-1 f(y)dμ(y) vérifie :

Si p>1, alors

Tα:Lp(X)Lq(X).

Si p=1, alors

Tα:L1(X)Lq,(X).

Etant donné un espace métrique mesuré de Vitali (X,ρ,μ) tel que xX,

V(x,r)crd,r<1etV(x,r)crD,r1,

étant donné p,q,a,nR tels que 1p<n/a, 1/q=1/p-a/n,dnD, étant donnée k a :X×XR une fonction mesurable vérifiant les conditions de croissance (en 0 et en +) suivantes

(i) k a (x,y)cρ(x,y) a-d x,yX tels que ρ(x,y)<1,

(ii) k a (x,y)cρ(x,y) a-D x,yX tels que ρ(x,y)1,

l’opérateur intégral fractionnaire I a associé au noyau k a vérifie :

Si p>1,

Ia:Lp(X)Lq(X).

Si p=1,

Ia:L1(X)Lq,(X).

DOI : https://doi.org/10.5802/ambp.300
Classification : 26A33,  26D10,  42B35
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     publisher = {Annales math\'ematiques Blaise Pascal},
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Mascré, David. Inégalités pour l’opérateur intégral fractionnaire sur différents espaces métriques mesurés. Annales Mathématiques Blaise Pascal, Tome 18 (2011) no. 2, pp. 273-300. doi : 10.5802/ambp.300. http://www.numdam.org/item/AMBP_2011__18_2_273_0/

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