Inégalités pour l’opérateur intégral fractionnaire sur différents espaces métriques mesurés
Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 18 (2011) no. 2, pp. 273-300.

Le but de cet article est d’étendre les résultats classiques (inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev, inégalité de Hedberg) sur l’intégrale fractionnaire à deux types différents d’espaces métriques mesurés : les espaces métriques mesurés à mesure doublante d’une part, les espaces métriques mesurés à croissance polynomiale du volume d’autre part. Les deux résultats principaux que nous obtenons sont les suivants :

Etant donné (X,ρ,μ) un espace métrique mesuré de type homogène, étant donnés p,q,αR tels que 1p<1/α, 1/q=1/p-α, 0<α<1, l’opérateur intégral fractionnaire T α défini en posant T α f(x)= X V(x,y) α-1 f(y)dμ(y) vérifie :

Si p>1, alors

T α :L p (X)L q (X).

Si p=1, alors

T α :L 1 (X)L q, (X).

Etant donné un espace métrique mesuré de Vitali (X,ρ,μ) tel que xX,

V(x,r)cr d ,r<1etV(x,r)cr D ,r1,

étant donné p,q,a,nR tels que 1p<n/a, 1/q=1/p-a/n,dnD, étant donnée k a :X×XR une fonction mesurable vérifiant les conditions de croissance (en 0 et en +) suivantes

(i) k a (x,y)cρ(x,y) a-d x,yX tels que ρ(x,y)<1,

(ii) k a (x,y)cρ(x,y) a-D x,yX tels que ρ(x,y)1,

l’opérateur intégral fractionnaire I a associé au noyau k a vérifie :

Si p>1,

I a :L p (X)L q (X).

Si p=1,

I a :L 1 (X)L q, (X).

DOI : 10.5802/ambp.300
Classification : 26A33, 26D10, 42B35
Mascré, David 1

1 Université de Cergy-Pontoise
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Mascré, David. Inégalités pour l’opérateur intégral fractionnaire sur différents espaces métriques mesurés. Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 18 (2011) no. 2, pp. 273-300. doi : 10.5802/ambp.300. http://www.numdam.org/articles/10.5802/ambp.300/

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