Extension d'une classe d'unicité pour les équations de Navier–Stokes

May, Ramzi

Annales de l'I.H.P. Analyse non linéaire, Tome 27 (2010) no. 2, pp. 705-718

Récemment, Q. Chen, C. Miao et Z. Zhang (2009) [4] ont montré l'unicité des solutions faibles de Leray dans l'espace $L^{\frac{2}{1+r}}([0,T],B_{\infty }^{r,\infty }\left({ℝ}^3\right))$ avec $r\in ]-\frac{1}{2},1]$. Nous proposons dans le présent travail d'étendre ce critère d'unicité au cas $r\in ]-1,-\frac{1}{2}]$.

Recently, Q. Chen, C. Miao and Z. Zhang (2009) [4] have proved that weak Leray solutions of the Navier–Stokes are unique in the class $L^{\frac{2}{1+r}}([0,T],B_{\infty }^{r,\infty }\left({ℝ}^3\right))$ with $r\in ]-\frac{1}{2},1]$. In this paper, we establish that this criterion remains true for $r\in ]-1,-\frac{1}{2}]$.

Keywords: Navier–Stokes equations, Besov spaces, Bony's paraproduct

[1] M. Cannone, Ondelettes, paraproduit et Navier–Stokes, Diderot Editeur, Paris (1995) | MR

[2] J.Y. Chemin, Théorèmes d'unicité pour le système de Navier–Stokes tridimensionnel, J. Anal. Math. 77 (1999), 27-50 | MR

[3] J.-Y. Chemin, N. Lerner, Flot de champs de vecteurs nonlipschitziens et équations de Navier–Stokes, J. Differential Equations 121 (1995), 314-328 | MR | Zbl

[4] Q. Chen, C. Miao, Z. Zhang, On the uniqueness of weak solutions for the 3D Navier–Stokes equations, Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 26 no. 6 (2009), 2165-2180 | MR | EuDML | Zbl | Numdam

[5] R. Danchin, A few remarks on the Camassa–Holm equation, Differential Integral Equations 14 (2001), 953-988 | MR | Zbl

[6] G. Furioli, P.G. Lemarié-Rieusset, E. Terraneo, Unicité dans $L^3\left({ℝ}^3\right)$ et d'autres espaces fonctionnels limites pour Navier–Stokes, Rev. Mat. Iberoamericana 16 (2000), 605-667 | MR | EuDML | Zbl

[7] G. Furioli, P.G. Lemarié-Rieusset, E. Zahrouni, A. Zhioua, Un théorème de persistance de la régularité en norme d'espaces de Besov pour les solutions de Koch et Tataru des équations de Navier–Stokes dans ${ℝ}^3$, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I 330 (2002), 339-342 | MR

[8] I. Gallagher, F. Planchon, On global infinite energy solutions to the Navier–Stokes equations in two dimensions, Arch. Ration. Mech. Anal. 161 (2002), 307-337 | MR | Zbl

[9] P. Gérard, Y. Meyer, F. Oru, Inégalités de Sobolev précisées, Equations aux Dérivées Partielles, Séminaire de L'Ecole Polytechniques, 1996–1997, exposé n. IV | EuDML

[10] P. Germain, Multipliers, paramultipliers, and weak-strong uniqueness for the Navier–Stokes equations, J. Differential Equations 226 (2006), 373-428 | MR | Zbl

[11] Y. Giga, Solutions for semilinear parabolic equations in $L^p$ and regularity pf weak solutions of the Navier–Stokes system, J. Differential Equations 62 (1986), 186-212 | MR | Zbl

[12] P.G. Lemarié-Rieusset, Recent Developments in the Navier–Stokes Problem, Chapman & Hall/CRC (2002) | MR | Zbl

[13] P.G. Lemarié-Rieusset, Uniqueness for the Navier–Stokes problem: Remarks on a theorem of Jean-Yves Chemin, Nonlinearity 20 (2007), 1475-1490 | MR | Zbl

[14] P.G. Lemarié-Rieusset, The Picard iterates for the Navier–Stokes equations in $L^3\left({ℝ}^3\right)$, Phys. D 237 (2008), 1334-1345 | MR | Zbl

[15] P.G. Lemarié-Rieusset, F. Marchand, Solutions auto-similaires non radiales pour l'équation quasi-géostrophique dissipative critique, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I 341 (2005), 535-538 | MR | Zbl

[16] J. Leray, Sur le mouvement d'un liquide visqueux emplissant l'espace, Acta Math. 63 (1934), 193-248 | MR | JFM

[17] R. May, Rôle de l'espace de Besov $B_{\infty }^{-1,\infty }$ dans le contrôle de l'explosion éventuelle en temps fini des solutions régulières des équations de Navier–Stokes, C. R. Acad. Sci. Paris 323 (2003), 731-734 | MR | Zbl

[18] R. May, Unicité des solutions des équations de Navier–Stokes dans les espaces de Morrey-Campanato, Bull. Sci. Math. (2009), http://dx.doi.org/10.1016/j.bulsci.2008.12.003 | MR | Zbl

[19] Y. Meyer, Wavelets, paraproducts and Navier–Stokes equations, Current Developments in Mathematics 1996, International Press, Cambridge, MA (1999) | MR | Zbl

[20] H. Miura, Remark on uniqueness of mild solutions to the Navier–Stokes equations, J. Funct. Anal. 218 (2005), 110-129 | MR | Zbl

[21] J. Serrin, The initial value problem for the Navier–Stokes equations, in: R.E. Langer (Ed.), Nonlinear Problems, 1963, pp. 69–98 | MR | Zbl

[22] R. Temam, Navier–Stokes Equations: Theory and Numerical Analysis, North-Holland, Amsterdam (1977) | MR | Zbl

[23] H. Triebel, Theory of Function Spaces, Monogr. Math. vol. 78, Birkhäuser Verlag, Basel (1983) | MR | Zbl

[24] W. Von Wahl, The Equations of Navier–Stokes and Abstract Parabolic Equations, Vieweg & Sohn, Wiesbaden (1985) | MR