Maximal brownian motions
Annales de l'I.H.P. Probabilités et statistiques, Volume 45 (2009) no. 3, p. 876-886

Let Z=(X, Y) be a planar brownian motion, 𝒵 the filtration it generates, and B a linear brownian motion in the filtration 𝒵. One says that B (or its filtration) is maximal if no other linear 𝒵-brownian motion has a filtration strictly bigger than that of B. For instance, it is shown in [In Séminaire de Probabilités XLI 265-278 (2008) Springer] that B is maximal if there exists a linear brownian motion C independent of B and such that the planar brownian motion (B, C) generates the same filtration 𝒵 as Z. We do not know if this sufficient condition for maximality is also necessary. We give a necessary condition for B to be maximal, and a sufficient condition which may be weaker than the existence of such a C. This sufficient condition is used to prove that the linear brownian motion (X dY-Y dX)/|Z|, which governs the angular part of Z, is maximal.

Soient Z=(X, Y) un mouvement brownien plan de filtration naturelle 𝒵, et B un mouvement brownien linéaire de la filtration 𝒵. On dit que B est maximal, et que la filtration naturelle de B est maximale, lorsqu’aucun autre mouvement brownien linéaire de 𝒵 n’engendre une filtration strictement plus grosse que celle de B. Il est par exemple établi dans [In Séminaire de Probabilités XLI 265-278 (2008) Springer] que B est maximal dès qu’il existe dans 𝒵 un mouvement brownien linéaire C indépendant de B et tel que le mouvement brownien plan (B, C) engendre toute la filtration 𝒵; nous ne savons pas si cette condition suffisante de maximalité est aussi nécessaire. Nous donnons une conditions nécessaire de maximalité, ainsi qu’une condition suffisante peut-être plus faible que l’existence d’un tel C. À l'aide de cette condition suffisante, nous démontrons que le mouvement brownien linéaire (X dY-Y dX)/|Z|, qui régit la partie angulaire de Z, est maximal.

DOI : https://doi.org/10.1214/08-AIHP194
Classification:  60J65,  60G07,  60G44
Keywords: brownian filtration, maximal brownian motion, exchange property
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     author = {Brossard, Jean and \'Emery, Michel and Leuridan, Christophe},
     title = {Maximal brownian motions},
     journal = {Annales de l'I.H.P. Probabilit\'es et statistiques},
     publisher = {Gauthier-Villars},
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Brossard, Jean; Émery, Michel; Leuridan, Christophe. Maximal brownian motions. Annales de l'I.H.P. Probabilités et statistiques, Volume 45 (2009) no. 3, pp. 876-886. doi : 10.1214/08-AIHP194. http://www.numdam.org/item/AIHPB_2009__45_3_876_0/

[1] S. Attal, K. Burdzy, M. Émery and Y. Hu. Sur quelques filtrations et transformations browniennes. In Séminaire de Probabilités XXIX 56-69. Lecture Notes in Mathematics 1613. Springer, Berlin, 1995. | Numdam | MR 1459449 | Zbl 0835.60073

[2] J. Brossard and C. Leuridan. Filtrations browniennes et compléments indépendants. In Séminaire de Probabilités XLI 265-278. Lecture Notes in Mathematics 1934. Springer, 2008. | MR 2483736 | Zbl 1149.60319

[3] M. Émery. On certain almost Brownian filtrations. Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 41 (2005) 285-305. | Numdam | MR 2139021 | Zbl 1082.60070

[4] D.W. Stroock and M. Yor. Some remarkable martingales. In Séminaire de Probabilités XV 590-603. Lecture Notes in Mathematics 850. Springer, Berlin, 1980. | Numdam | MR 622590 | Zbl 0456.60048

[5] H. Von Weizsäcker. Exchanging the order of taking suprema and countable intersections of σ-algebras. Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 19 (1983) 91-100. | Numdam | MR 699981 | Zbl 0509.60002