On Moebius and conformal maps between boundaries of CAT (-1) spaces
Annales de l'Institut Fourier, Volume 65 (2015) no. 3, p. 1387-1422

We study Moebius and conformal maps between boundaries of CAT (-1) spaces equipped with visual metrics. We show that any Moebius map between boundaries of proper, geodesically complete CAT (-1) spaces extends to a (1, log 2)-quasi-isometry between the spaces. For a conformal map f between boundaries of spaces X, Y we define a function S(f) on the space of geodesics of X, called the integrated Schwarzian of f, which measures the deviation of the conjugacy of geodesic flows induced by f from being flip equivariant. The integrated Schwarzian S(f) vanishes identically if f is Moebius. Conversely, when X is a simply connected manifold with pinched negative sectional curvatures, we obtain a formula for the cross-ratio distortion of f in terms of S(f) which shows that if S(f) vanishes then f is Moebius.

Nous étudions les applications conformes de Moebius entre les bords des espaces CAT (-1) équipés avec leurs métriques visuelles. Nous démontrons qu’une application de Moebius entre les bords des espaces CAT (-1) propres et géodésiquement complets s’étend à une (1, log 2)-quasi-isométrie. Nous définissons pour une application conforme f entre les bords des espaces X, Y une fonction S(f), appelée le Schwarzian integrée de f, qui quantifie la déviation de conjugaison des flots géodésiques induits par f d’être équivariant par rapport aux flips. Le Schwarzian integré s’annule si f est de Moebius. Réciproquement, si X est une variété riemannienne simplement connexe à courbure -b 2 K-1, nous obtenons une formule pour la distortion du birapport par f, qui montre que f est de Moebius si S(f) s’annule.

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2961
Classification:  53C24
Keywords: CAT(-1) space, cross-ratio, Moebius, conformal
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     author = {Biswas, Kingshook},
     title = {On Moebius and conformal maps between boundaries of ${\rm CAT}(-1)$ spaces},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     publisher = {Association des Annales de l'institut Fourier},
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Biswas, Kingshook. On Moebius and conformal maps between boundaries of ${\rm CAT}(-1)$ spaces. Annales de l'Institut Fourier, Volume 65 (2015) no. 3, pp. 1387-1422. doi : 10.5802/aif.2961. http://www.numdam.org/item/AIF_2015__65_3_1387_0/

[1] Bourdon, Marc Structure conforme au bord et flot géodésique d’un CAT (-1)-espace, Enseign. Math. (2), Tome 41 (1995) no. 1-2, pp. 63-102 | MR 1341941 | Zbl 0871.58069

[2] Bourdon, Marc Sur le birapport au bord des CAT (-1)-espaces, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. (1996) no. 83, pp. 95-104 | Article | Numdam | MR 1423021 | Zbl 0883.53047

[3] Bowen, Rufus Periodic orbits for hyperbolic flows, Amer. J. Math., Tome 94 (1972), pp. 1-30 | Article | MR 298700 | Zbl 0254.58005

[4] Coornaert, Michel Rigidité ergodique de groupes d’isométries d’arbres, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., Tome 315 (1992) no. 3, pp. 301-304 | MR 1179724 | Zbl 0759.28012

[5] Hamenstädt, Ursula Time-preserving conjugacies of geodesic flows, Ergodic Theory Dynam. Systems, Tome 12 (1992) no. 1, pp. 67-74 | Article | MR 1162399 | Zbl 0766.58045

[6] Kaimanovich, Vadim A. Bowen-Margulis and Patterson measures on negatively curved compact manifolds, Dynamical systems and related topics (Nagoya, 1990), World Sci. Publ., River Edge, NJ (Adv. Ser. Dynam. Systems) Tome 9 (1991), pp. 223-232 | Article | MR 1164891

[7] Otal, Jean-Pierre Le spectre marqué des longueurs des surfaces à courbure négative, Ann. of Math. (2), Tome 131 (1990) no. 1, pp. 151-162 | Article | MR 1038361 | Zbl 0699.58018

[8] Otal, Jean-Pierre Sur la géometrie symplectique de l’espace des géodésiques d’une variété à courbure négative, Rev. Mat. Iberoamericana, Tome 8 (1992) no. 3, pp. 441-456 | Article | MR 1202417 | Zbl 0777.53042