Bary-Soroker, Lior; Fehm, Arno; Petersen, Sebastian
On varieties of Hilbert type  [ Sur les variétés ayant la propriété de Hilbert ]
Annales de l'institut Fourier, Tome 64 (2014) no. 5 , p. 1893-1901
MR 3330926 | Zbl 06387326
doi : 10.5802/aif.2899
URL stable : http://www.numdam.org/item?id=AIF_2014__64_5_1893_0

Classification:  12E25,  12E30,  20G30
Mots clés: ensemble mince, propriété de Hilbert, corps Hilbertien, groupes algébriques
Une variété X sur un corps K a la propriété de Hilbert si X(K) n’est pas mince. Nous montrons que si f:XS est un morphisme de K-variétés dominant et si S ainsi que toutes les fibres f -1 (s) pour sS(K) ont la propriété de Hilbert, alors X aussi. Ceci nous permet de répondre à une question de Serre concernant les produits de variétés, et de généraliser un résultat de Colliot-Thélène et Sansuc sur les groupes algébriques.
A variety X over a field K is of Hilbert type if X(K) is not thin. We prove that if f:XS is a dominant morphism of K-varieties and both S and all fibers f -1 (s), sS(K), are of Hilbert type, then so is X. We apply this to answer a question of Serre on products of varieties and to generalize a result of Colliot-Thélène and Sansuc on algebraic groups.

Bibliographie

[1] Borel, Armand Linear algebraic groups, Springer-Verlag, New York, Graduate Texts in Mathematics, 126 (1991), p. xii+288 MR 1102012 | Zbl 0726.20030

[2] Colliot-Thélène, Jean-Louis; Sansuc, Jean-Jacques Principal homogeneous spaces under flasque tori: applications, J. Algebra, 106 (1987) no. 1, p. 148–205 Article  MR 878473 | Zbl 0597.14014

[3] Conrad, Brian A modern proof of Chevalley’s theorem on algebraic groups, J. Ramanujan Math. Soc., 17 (2002) no. 1, p. 1–18 MR 1906417 | Zbl 1007.14005

[4] Corvaja, Pietro Rational fixed points for linear group actions, Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (5), 6 (2007) no. 4, p. 561–597 Numdam | MR 2394411 | Zbl 1207.11067

[5] Fried, Michael D.; Jarden, Moshe Field arithmetic, Springer-Verlag, Berlin, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics], 11 (2008), p. xxiv+792 (Revised by Jarden) MR 2445111 | Zbl 0625.12001

[6] Grothendieck, A. Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. (1961) no. 8, p. 5–222

[7] Grothendieck, A. Éléments de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. (1961) no. 11, p. 5–167 Numdam | Zbl 0122.16102

[8] Grothendieck, A. Revêtements étales et groupe fondamental. Fasc. I: Exposés 1 à 5, Institut des Hautes Études Scientifiques, Paris, Séminaire de Géométrie Algébrique, 1960/61 (1963), p. iv+143

[9] Grothendieck, A. Revêtements étales et groupe fondamental. Fasc. II: Exposés 6, 8 à 11, Institut des Hautes Études Scientifiques, Paris, Séminaire de Géométrie Algébrique, 1960/61 (1963), p. i+163

[10] Grothendieck, A. Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. (1964) no. 20, p. 5–259 Article  Numdam | Zbl 0136.15901

[11] Grothendieck, A. Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Deuxième partie, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. (1965) no. 24, p. 5–231 Numdam | Zbl 0135.39701

[12] Grothendieck, A. Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné): IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. (1966) no. 28, p. 5–255 Article  Numdam | Zbl 0144.19904

[13] Kollár, János Rationally connected varieties and fundamental groups, Higher dimensional varieties and rational points (Budapest, 2001), Springer, Berlin (Bolyai Soc. Math. Stud.) 12 (2003), p. 69–92 MR 2011744 | Zbl 1075.14017

[14] Milne, J. Basic Theory of Affine Group Schemes (2012) (Available at www.jmilne.org)

[15] Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay Cohomology of number fields, Springer-Verlag, Berlin, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 323 (2008), p. xvi+825 MR 2392026 | Zbl 1136.11001

[16] Rosenlicht, Maxwell Questions of rationality for solvable algebraic groups over nonperfect fields, Ann. Mat. Pura Appl. (4), 61 (1963), p. 97–120 Article  MR 158891 | Zbl 0126.16901

[17] Sansuc, J.-J. Groupe de Brauer et arithmétique des groupes algébriques linéaires sur un corps de nombres, J. Reine Angew. Math., 327 (1981), p. 12–80 MR 631309 | Zbl 0468.14007

[18] Serre, Jean-Pierre Galois cohomology, Springer-Verlag, Berlin (1997), p. x+210 (Translated from the French by Patrick Ion and revised by the author) MR 1466966 | Zbl 0812.12002

[19] Serre, Jean-Pierre Topics in Galois theory, A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, Research Notes in Mathematics, 1 (2008), p. xvi+120 (notes written by Henri Darmon) MR 2363329 | Zbl 1128.12001