We study the action of a real-reductive group on a real-analytic submanifold of a Kähler manifold. We suppose that the action of extends holomorphically to an action of the complexified group on this Kähler manifold such that the action of a maximal compact subgroup is Hamiltonian. The moment map induces a gradient map . We show that almost separates the –orbits if and only if a minimal parabolic subgroup of has an open orbit. This generalizes Brion’s characterization of spherical Kähler manifolds with moment maps.
Nous étudions l’action d’un groupe réel-réductif sur une sous-variété réel-analytique d’une variété kählérienne. Nous supposons que l’action de peut être prolongée en une action holomorphe du groupe complexifié sur cette variété kählérienne telle que l’action d’un sous-groupe maximal compact de soit hamiltonienne. L’application moment induit une application gradient . Nous montrons que sépare presque les orbites de si et seulement si un sous-groupe minimal parabolique de possède une orbite ouverte dans . Ce résultat généralise la caractérisation de Brion des variétés kählériennes sphériques qui admettent une application moment.
Keywords: Real-reductive Lie group, Hamiltonian action, gradient map, spherical variety
Mot clés : groupe de Lie réel-réductif, action hamiltonienne, application gradient, variété sphérique
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[1] Spherical Stein spaces, Manuscripta Math., Volume 485 (1997) no. 3, p. 327-334. | MR | Zbl
[2] Weakly symmetric spaces and spherical varieties, Transform. Groups, Volume 4 (1999) no. 1, p. 3-24. | DOI | MR | Zbl
[3] Introduction to compact transformation groups, Pure and Applied Mathematics, 46, Academic Press, New-York – London, 1972 | MR | Zbl
[4] Sur l’image de l’application moment, Séminaire d’algèbre Paul Dubreil et Marie-Paule Malliavin (Paris, 1986) (Lecture Notes in Math.), Volume 1296, Springer, Berlin (1987), pp. 177-192 | MR | Zbl
[5] Symplectic techniques in physics, Cambridge University Press, Cambridge, 1984 | MR | Zbl
[6] Equivariant holomorphic extensions of real analytic manifolds, Bull. Soc. Math. France, Volume 121 (1993) no. 3, p. 445-463. | Numdam | MR | Zbl
[7] Kählerian potentials and convexity properties of the moment map, Invent. Math., Volume 126 (1996) no. 1, p. 65-84. | DOI | MR | Zbl
[8] Convexity properties of gradient maps (arXiv:0710.1152v1 [math.CV], 2007)
[9] Cartan decomposition of the moment map, Math. Ann., Volume 337 (2007) no. 1, p. 197-232. | DOI | MR | Zbl
[10] Semistable points with respect to real forms, Math. Ann., Volume 338 (2007) no. 1, p. 1-9. | DOI | MR | Zbl
[11] The structure of Lie groups, Holden-Day Inc, San Francisco, 1965 | MR | Zbl
[12] On holomorphically separable complex solv-manifolds, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), Volume 36 (1986) no. 3, p. 57-65. | DOI | EuDML | Numdam | MR | Zbl
[13] Multiplicity-free complex manifolds, Math. Ann., Volume 286 (1990) no. 1-3, p. 261-280. | DOI | EuDML | MR | Zbl
[14] Lie groups beyond an introduction, Progress in Mathematics, 140, Birkhäuser Boston Inc., Boston, MA, 2002 | MR | Zbl
[15] On convexity, the Weyl group and the Iwasawa decomposition, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4), Volume 6 (1973), p. 413-455. | EuDML | Numdam | MR | Zbl
[16] Sur certains espaces fibrés holomorphes sur une variété de Stein, Bull. Soc. Math. France, Volume 88 (1960), p. 137-155. | EuDML | Numdam | MR | Zbl
[17] Quotients of real reductive group actions related to orbit type strata, Dissertation, Ruhr-Universität Bochum, 2008 | Zbl
[18] Harmonic analysis on commutative spaces, Mathematical Surveys and Monographs, 142, American Mathematical Society, Providence, RI, 2007 | MR | Zbl
Cited by Sources: