Principe d’Heisenberg et fonctions positives  [ The Heisenberg principle and positive functions ]
Annales de l'Institut Fourier, Volume 60 (2010) no. 4, p. 1215-1232

We consider a natural problem concerning Fourier transforms. In one variable, one seeks functions f and f ^, both positive for xa and vanishing at 0. What is the lowest bound for a ? In higher dimension, the same problem can be posed by replacing the interval by a ball of radius a. We show that there is indeed a strictly positive lower bound, which is estimated as a function of the dimension. In the last section the question, and its solution, are shown to be naturally related to the theory of zêta-functions.

On décrit un problème naturel concernant la transformation de Fourier. Soient f, f ^ deux fonctions associées par celle-ci, positives pour xa et nulles en zéro. Quelle est la borne inférieure pour a ? En dimension supérieure, même question, l’intervalle étant remplacé par la boule de rayon a. On montre l’existence d’une borne inférieure strictement positive, qui est estimée en fonction de la dimension. La dernière section montre que cette question est naturellement liée à la théorie des fonctions zêta.

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2552
Classification:  42A38,  42B10,  11R42
Keywords: Fourier transforms, zêta-function
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     author = {Bourgain, Jean and Clozel, Laurent and Kahane, Jean-Pierre},
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     publisher = {Association des Annales de l'institut Fourier},
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     pages = {1215-1232},
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Bourgain, Jean; Clozel, Laurent; Kahane, Jean-Pierre. Principe d’Heisenberg et fonctions positives. Annales de l'Institut Fourier, Volume 60 (2010) no. 4, pp. 1215-1232. doi : 10.5802/aif.2552. http://www.numdam.org/item/AIF_2010__60_4_1215_0/

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