Optimisation du théorème d’Ax-Sen-Tate et application à un calcul de cohomologie galoisienne p-adique  [ Optimization of the Ax-Sen-Tate theorem applied to a computation in p-adic Galois cohomology ]
Annales de l'Institut Fourier, Volume 60 (2010) no. 3, p. 1105-1123

Let K be a p-adic field, G its absolute Galois group and v the valuation on C p . In his proof of the Ax-Sen-Tate theorem, Ax shows that if for some AR, xC p satisfies v(σx-x)A for all σG, then there exists yK such that v(x-y)A-c, with c=p/(p-1) 2 . Ax questions the optimality of the constant c, which we study here. Using the extension of K generated by p m -th roots of a fixed uniformizer of K, we find the optimal constant and some more information about those elements in C p satisfying v(σx-x)A for all σG, which allows us to give a description the first cohomology group of G with coefficients in the ring of integers of K.

Soit K un corps p-adique, G son groupe de Galois absolu et v la valuation sur C p . Dans sa démonstration du théorème d’Ax-Sen-Tate, Ax montre que si pour un AR, xC p vérifie v(σx-x)A pour tout σG, alors il existe yK tel que v(x-y)A-c, avec c=p/(p-1) 2 . Ax se pose la question de l’optimalité de la constante c, que nous étudions ici. En utilisant l’extension de K engendrée par les racines p m -es d’une uniformisante fixée de K, nous déterminons la constante optimale, ainsi que des informations supplémentaires sur les xC p tels que v(σx-x)A pour tout σG, ce qui nous permet de donner une description du premier groupe de cohomologie de G à coefficients dans l’anneau des entiers de K.

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2548
Classification:  11S15,  11S25
Keywords: Constant, optimality, Ax-Sen-Tate, Galois cohomology, p-adic, ramification, twist-recurrent
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Le Borgne, Jérémy. Optimisation du théorème d’Ax-Sen-Tate et application à un calcul de cohomologie galoisienne $p$-adique. Annales de l'Institut Fourier, Volume 60 (2010) no. 3, pp. 1105-1123. doi : 10.5802/aif.2548. http://www.numdam.org/item/AIF_2010__60_3_1105_0/

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