Optimisation du théorème d’Ax-Sen-Tate et application à un calcul de cohomologie galoisienne $p$-adique

Soit $K$ un corps $p$-adique, $G$ son groupe de Galois absolu et $v$ la valuation sur ${\mathbf{C}}_p$. Dans sa démonstration du théorème d’Ax-Sen-Tate, Ax montre que si pour un $A\in \mathbf{R}$, $x\in {\mathbf{C}}_p$ vérifie $v(\sigma x-x)\ge A$ pour tout $\sigma \in G$, alors il existe $y\in K$ tel que $v(x-y)\ge A-c$, avec $c=p/{(p-1)}^2$. Ax se pose la question de l’optimalité de la constante $c$, que nous étudions ici. En utilisant l’extension de $K$ engendrée par les racines $p^m$-es d’une uniformisante fixée de $K$, nous déterminons la constante optimale, ainsi que des informations supplémentaires sur les $x\in {\mathbf{C}}_p$ tels que $v(\sigma x-x)\ge A$ pour tout $\sigma \in G$, ce qui nous permet de donner une description du premier groupe de cohomologie de $G$ à coefficients dans l’anneau des entiers de $K$.

Let $K$ be a $p$-adic field, $G$ its absolute Galois group and $v$ the valuation on ${\mathbf{C}}_p$. In his proof of the Ax-Sen-Tate theorem, Ax shows that if for some $A\in \mathbf{R}$, $x\in {\mathbf{C}}_p$ satisfies $v(\sigma x-x)\ge A$ for all $\sigma \in G$, then there exists $y\in K$ such that $v(x-y)\ge A-c$, with $c=p/{(p-1)}^2$. Ax questions the optimality of the constant $c$, which we study here. Using the extension of $K$ generated by $p^m$-th roots of a fixed uniformizer of $K$, we find the optimal constant and some more information about those elements in ${\mathbf{C}}_p$ satisfying $v(\sigma x-x)\ge A$ for all $\sigma \in G$, which allows us to give a description the first cohomology group of $G$ with coefficients in the ring of integers of $K$.