Soit un corps -adique, son groupe de Galois absolu et la valuation sur . Dans sa démonstration du théorème d’Ax-Sen-Tate, Ax montre que si pour un , vérifie pour tout , alors il existe tel que , avec . Ax se pose la question de l’optimalité de la constante , que nous étudions ici. En utilisant l’extension de engendrée par les racines -es d’une uniformisante fixée de , nous déterminons la constante optimale, ainsi que des informations supplémentaires sur les tels que pour tout , ce qui nous permet de donner une description du premier groupe de cohomologie de à coefficients dans l’anneau des entiers de .
Let be a -adic field, its absolute Galois group and the valuation on . In his proof of the Ax-Sen-Tate theorem, Ax shows that if for some , satisfies for all , then there exists such that , with . Ax questions the optimality of the constant , which we study here. Using the extension of generated by -th roots of a fixed uniformizer of , we find the optimal constant and some more information about those elements in satisfying for all , which allows us to give a description the first cohomology group of with coefficients in the ring of integers of .
Classification : 11S15, 11S25
Mots clés : constante, optimalité, Ax-Sen-Tate, cohomologie galoisienne, -adique, ramification, suite twist-récurrente
@article{AIF_2010__60_3_1105_0, author = {Le Borgne, J\'er\'emy}, title = {Optimisation du th\'eor\`eme d'Ax-Sen-Tate et application \`a un calcul de cohomologie galoisienne $p$-adique}, journal = {Annales de l'Institut Fourier}, pages = {1105--1123}, publisher = {Association des Annales de l'institut Fourier}, volume = {60}, number = {3}, year = {2010}, doi = {10.5802/aif.2548}, mrnumber = {2680825}, zbl = {pre05763361}, language = {fr}, url = {www.numdam.org/item/AIF_2010__60_3_1105_0/} }
Le Borgne, Jérémy. Optimisation du théorème d’Ax-Sen-Tate et application à un calcul de cohomologie galoisienne $p$-adique. Annales de l'Institut Fourier, Tome 60 (2010) no. 3, pp. 1105-1123. doi : 10.5802/aif.2548. http://www.numdam.org/item/AIF_2010__60_3_1105_0/
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[4] Notes du cours de M2 (Corps locaux, http ://people.math.jussieu.fr /colmez)
[5] Notes du cours de M2 (Introduction aux anneaux de Fontaine, http ://people.math.jussieu.fr/ colmez)
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