Optimisation du théorème d’Ax-Sen-Tate et application à un calcul de cohomologie galoisienne $p$-adique

Le Borgne, Jérémy

Optimisation du théorème d’Ax-Sen-Tate et application à un calcul de cohomologie galoisienne

p

-adique [ Optimization of the Ax-Sen-Tate theorem applied to a computation in

p

-adic Galois cohomology ]

Le Borgne, Jérémy

Annales de l'Institut Fourier, Volume 60 (2010) no. 3, p. 1105-1123

Abstract
Résumé

Let $K$ be a $p$ -adic field, $G$ its absolute Galois group and $v$ the valuation on $C_{p}$ . In his proof of the Ax-Sen-Tate theorem, Ax shows that if for some $A \in R$ , $x \in C_{p}$ satisfies $v (σ x - x) \geq A$ for all $σ \in G$ , then there exists $y \in K$ such that $v (x - y) \geq A - c$ , with $c = p / {(p - 1)}^{2}$ . Ax questions the optimality of the constant $c$ , which we study here. Using the extension of $K$ generated by $p^{m}$ -th roots of a fixed uniformizer of $K$ , we find the optimal constant and some more information about those elements in $C_{p}$ satisfying $v (σ x - x) \geq A$ for all $σ \in G$ , which allows us to give a description the first cohomology group of $G$ with coefficients in the ring of integers of $K$ .

Soit $K$ un corps $p$ -adique, $G$ son groupe de Galois absolu et $v$ la valuation sur $C_{p}$ . Dans sa démonstration du théorème d’Ax-Sen-Tate, Ax montre que si pour un $A \in R$ , $x \in C_{p}$ vérifie $v (σ x - x) \geq A$ pour tout $σ \in G$ , alors il existe $y \in K$ tel que $v (x - y) \geq A - c$ , avec $c = p / {(p - 1)}^{2}$ . Ax se pose la question de l’optimalité de la constante $c$ , que nous étudions ici. En utilisant l’extension de $K$ engendrée par les racines $p^{m}$ -es d’une uniformisante fixée de $K$ , nous déterminons la constante optimale, ainsi que des informations supplémentaires sur les $x \in C_{p}$ tels que $v (σ x - x) \geq A$ pour tout $σ \in G$ , ce qui nous permet de donner une description du premier groupe de cohomologie de $G$ à coefficients dans l’anneau des entiers de $K$ .

MR 2680825 | Zbl pre05763361 | 1 citation in Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2548
Classification: 11S15, 11S25
Keywords: Constant, optimality, Ax-Sen-Tate, Galois cohomology,

p

-adic, ramification, twist-recurrent

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Optimisation du théorème d’Ax-Sen-Tate et application à un calcul de cohomologie galoisienne $p$-adique. Annales de l'Institut Fourier, Volume 60 (2010) no. 3, pp. 1105-1123. doi : 10.5802/aif.2548. http://www.numdam.org/item/AIF_2010__60_3_1105_0/

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