Optimisation du théorème d’Ax-Sen-Tate et application à un calcul de cohomologie galoisienne $p$-adique

Le Borgne, Jérémy

doi:10.5802/aif.2548

Optimisation du théorème d’Ax-Sen-Tate et application à un calcul de cohomologie galoisienne

p

-adique [ Optimization of the Ax-Sen-Tate theorem applied to a computation in

p

-adic Galois cohomology ]

Le Borgne, Jérémy

Annales de l'Institut Fourier, Volume 60 (2010) no. 3, p. 1105-1123

Abstract
Résumé

Let $K$ be a $p$ -adic field, $G$ its absolute Galois group and $v$ the valuation on $C_{p}$ . In his proof of the Ax-Sen-Tate theorem, Ax shows that if for some $A \in R$ , $x \in C_{p}$ satisfies $v (σ x - x) \geq A$ for all $σ \in G$ , then there exists $y \in K$ such that $v (x - y) \geq A - c$ , with $c = p / {(p - 1)}^{2}$ . Ax questions the optimality of the constant $c$ , which we study here. Using the extension of $K$ generated by $p^{m}$ -th roots of a fixed uniformizer of $K$ , we find the optimal constant and some more information about those elements in $C_{p}$ satisfying $v (σ x - x) \geq A$ for all $σ \in G$ , which allows us to give a description the first cohomology group of $G$ with coefficients in the ring of integers of $K$ .

Soit $K$ un corps $p$ -adique, $G$ son groupe de Galois absolu et $v$ la valuation sur $C_{p}$ . Dans sa démonstration du théorème d’Ax-Sen-Tate, Ax montre que si pour un $A \in R$ , $x \in C_{p}$ vérifie $v (σ x - x) \geq A$ pour tout $σ \in G$ , alors il existe $y \in K$ tel que $v (x - y) \geq A - c$ , avec $c = p / {(p - 1)}^{2}$ . Ax se pose la question de l’optimalité de la constante $c$ , que nous étudions ici. En utilisant l’extension de $K$ engendrée par les racines $p^{m}$ -es d’une uniformisante fixée de $K$ , nous déterminons la constante optimale, ainsi que des informations supplémentaires sur les $x \in C_{p}$ tels que $v (σ x - x) \geq A$ pour tout $σ \in G$ , ce qui nous permet de donner une description du premier groupe de cohomologie de $G$ à coefficients dans l’anneau des entiers de $K$ .

MR 2680825 | Zbl pre05763361 | 1 citation in Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2548
Classification: 11S15, 11S25
Keywords: Constant, optimality, Ax-Sen-Tate, Galois cohomology,

p

-adic, ramification, twist-recurrent

@article{AIF_2010__60_3_1105_0,
     author = {Le Borgne, J\'er\'emy},
     title = {Optimisation du th\'eor\`eme d'Ax-Sen-Tate et application \`a un calcul de cohomologie galoisienne $p$-adique},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     publisher = {Association des Annales de l'institut Fourier},
     volume = {60},
     number = {3},
     year = {2010},
     pages = {1105-1123},
     doi = {10.5802/aif.2548},
     mrnumber = {2680825},
     zbl = {pre05763361},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/item/AIF_2010__60_3_1105_0}
}

Le Borgne, Jérémy. Optimisation du théorème d’Ax-Sen-Tate et application à un calcul de cohomologie galoisienne $p$-adique. Annales de l'Institut Fourier, Volume 60 (2010) no. 3, pp. 1105-1123. doi : 10.5802/aif.2548. http://www.numdam.org/item/AIF_2010__60_3_1105_0/

References

[1] Ax, J. Zeros of polynomials over local fields, Journal of Algebra, Tome 15 (1970), pp. 417-428 | Article | MR 263786 | Zbl 0216.04703

[2] Breuil, C. Une application du corps des normes, Compositiones Mathematicae, Tome 117 (1999), pp. 189-203 | Article | MR 1695849 | Zbl 0933.11055

[3] Caruso, X. $F_{p}$ -représentations semi-stables (préprint, 2008) | MR 2951749

[4] Colmez, P. Notes du cours de M2 (Corps locaux, http ://people.math.jussieu.fr /colmez)

[5] Colmez, P. Notes du cours de M2 (Introduction aux anneaux de Fontaine, http ://people.math.jussieu.fr/ colmez)

[6] Kedlaya, K. The algebraic closure of the power series field in positive characteristic, Proceedings of the American Mathematical Society, Tome 129 (2001), pp. 3461-3470 | Article | MR 1860477 | Zbl 1012.12007

[7] Kedlaya, K. Power Series and $p$ -adic Algebraic Closures, Journal of Number Theory, Tome 89 (2001), pp. 24-339 | Article | MR 1845241 | Zbl 0980.12002

[8] Sen, S. On automorphisms of local fields, Annals of Mathematics, Tome 90 (1969), pp. 33-46 | Article | MR 244214 | Zbl 0199.36301

[9] Serre, J.-P. Corps locaux, Hermann (1968) | MR 354618

[10] Tate, J. $p$ -divisible groups, Proceedings of a conference on Local fields, Springer, Driebergen (1966), pp. 158-183 | MR 231827 | Zbl 0157.27601

[11] Wintenberger, J.-P. Le corps des normes de certaines extensions infinies de corps locaux ; applications, Annales Scientifiques de l’Ecole Normale Supérieure, Tome 16 (1983), pp. 59-89 (4ème série) | Numdam | MR 719763 | Zbl 0516.12015