Un théorème à la « Thom-Sebastiani » pour les intégrales-fibres
Annales de l'Institut Fourier, Tome 60 (2010) no. 1, pp. 319-353.

L’objet de cet article est de démontrer un théorème «  à la Thom-Sebastiani  » pour les développements asymptotiques des intégrales-fibres des fonctions du type fg:(x,y)f(x)+g(y) sur ( p × q ,(0,0)) en terme des développements asymptotiques des intégrales-fibres associées aux germes holomorphes f:( p ,0)(,0) et g:( q ,0)(,0). Ceci se ramène à calculer les développements asymptotiques d’une convolution Φ*Ψ à partir des développements asymptotiques de Φ et Ψ modulo les termes non singuliers.

Pour obtenir un résultat précis donnant la non nullité des termes singuliers attendus dans les développements asymptotiques des intégrales-fibres associées à fg, nous devons calculer les constantes qui apparaissent dans la convolution. Nous montrons qu’elles sont données par des fractions rationnelles de facteurs Gamma, ce qui nous permet de montrer qu’elles sont non nulles.

The aim of this article is to prove a Thom-Sebastiani theorem for the asymptotics of the fiber-integrals. This means that we describe the asymptotics of the fiber-integrals of the function fg:(x,y)f(x)+g(y) on ( p × q ,(0,0)) in term of the asymptotics of the fiber-integrals of the holomorphic germs f:( p ,0)(,0) and g:( q ,0)(,0). This reduces to compute the asymptotics of a convolution Φ*Ψ from the asymptotics of Φ and Ψ modulo smooth terms.

To obtain a precise result, giving the non vanishing of expected singular terms in the asymptotic expansions of the fiber-integrals associated to fg, we have to compute the constants coming from the convolution process. We show that they are given by rational fractions of Gamma factors. This enable us to show that these constants do not vanish.

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2524
Classification : 32S25,  32S40,  32S50
Mots clés : développements asymptotiques, intégrales-fibres, théorème de Thom-Sebastiani
@article{AIF_2010__60_1_319_0,
     author = {Barlet, Daniel},
     title = {Un th\'eor\`eme \`a la \guillemotleft{}~Thom-Sebastiani~\guillemotright{}  pour les int\'egrales-fibres},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {319--353},
     publisher = {Association des Annales de l'institut Fourier},
     volume = {60},
     number = {1},
     year = {2010},
     doi = {10.5802/aif.2524},
     mrnumber = {2664317},
     zbl = {1194.32015},
     language = {fr},
     url = {www.numdam.org/item/AIF_2010__60_1_319_0/}
}
Barlet, Daniel. Un théorème à la « Thom-Sebastiani »  pour les intégrales-fibres. Annales de l'Institut Fourier, Tome 60 (2010) no. 1, pp. 319-353. doi : 10.5802/aif.2524. http://www.numdam.org/item/AIF_2010__60_1_319_0/

[1] Barlet, D. Développements asymptotiques des fonctions obtenues par intégration sur les fibres, Inv. Math., Volume 68 (1982), pp. 129-174 | Article | EuDML 142929 | MR 666639 | Zbl 0508.32003

[2] Barlet, D. Calcul de la forme hermitienne canonique pour X a +Y b +Z c , Sem. P. Lelong (Lecture Notes) Volume 1198, Springer Verlag, 1986, pp. 35-46 | MR 874759 | Zbl 0598.32015

[3] Bjork, J.-E. Analytic D-Modules and Applications, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London, 1993 | MR 1232191 | Zbl 0805.32001

[4] Briançon, J.; Skoda, H. Sur la clôture intégrale d’un idéal de germes de fonctions holomorphes en un point de n , C.R. Acad. Sci. Paris série A, Volume 278 (1974), pp. 949-951 | MR 340642 | Zbl 0307.32007

[5] Kashiwara, M. b-function and holonomic systems, Inv. Math., Volume 38 (1976), pp. 33-53 | Article | EuDML 142441 | MR 430304 | Zbl 0354.35082

[6] Malgrange, B. Intégrale asymptotique et monodromie, Ann. Scient. Ec. Norm. Sup., Volume 7 (1974), pp. 405-430 | EuDML 81943 | Numdam | MR 372243 | Zbl 0305.32008

[7] Malgrange, B. Polynôme de Bernstein-Sato et cohomologie évanescente, Astérisque , Volume 101-102 (1983), pp. 243-267 | MR 737934 | Zbl 0528.32007

[8] Sakamoto, K. Milnor fibering and their characteristic maps, Proc. Intern. Conf. on manifolds and Related Topics in Topology (1973) | Zbl 0321.32010

[9] Sebastiani, M.; Thom, R. Un résultat sur la monodromie, Inv. Math., Volume 13 (1971), pp. 90-96 | Article | EuDML 142085 | MR 293122 | Zbl 0233.32025