Extremal domains for the first eigenvalue of the Laplace-Beltrami operator  [ Domains extrémaux pour la première valeur propre de l’opérateur de Laplace-Beltrami ]
Annales de l'Institut Fourier, Tome 59 (2009) no. 2, p. 515-542
Nous prouvons l’existence de domaines extrémaux avec volume petit et fixé pour la première valeur propre de l’opérateur de Laplace-Beltrami dans certaines variétés riemanniennes. Ces domaines ressemblent à des sphères géodésiques de rayon petit centrées en un point critique non dégénéré de la courbure scalaire.
We prove the existence of extremal domains with small prescribed volume for the first eigenvalue of Laplace-Beltrami operator in some Riemannian manifold. These domains are close to geodesic spheres of small radius centered at a nondegenerate critical point of the scalar curvature.
DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2438
Classification:  53B20
Mots clés: Domaines extrémaux, opérateur de Laplace-Beltrami, première valeur propre, courbure scalaire, sphère géodésique
@article{AIF_2009__59_2_515_0,
     author = {Pacard, Frank and Sicbaldi, Pieralberto},
     title = {Extremal domains for the first eigenvalue of the Laplace-Beltrami operator},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     publisher = {Association des Annales de l'institut Fourier},
     volume = {59},
     number = {2},
     year = {2009},
     pages = {515-542},
     doi = {10.5802/aif.2438},
     mrnumber = {2521426},
     zbl = {1166.53029},
     language = {en},
     url = {http://www.numdam.org/item/AIF_2009__59_2_515_0}
}
Pacard, Frank; Sicbaldi, Pieralberto. Extremal domains for the first eigenvalue of the Laplace-Beltrami operator. Annales de l'Institut Fourier, Tome 59 (2009) no. 2, pp. 515-542. doi : 10.5802/aif.2438. http://www.numdam.org/item/AIF_2009__59_2_515_0/

[1] Druet, O. Sharp local isoperimetric inequalities involving the scalar curvature, Proc. Amer. Math. Soc., Tome 130 (2002) no. 8, pp. 2351-2361 | Article | MR 1897460 | Zbl 1067.53026

[2] El Soufi, A.; Ilias, S. Domain deformations and eigenvalues of the Dirichlet Laplacian in Riemannian manifold, Illinois Journal of Mathematics, Tome 51 (2007), pp. 645-666 | MR 2342681 | Zbl 1124.49035

[3] Faber, G. Beweis dass unter allen homogenen Menbranen von gleicher Fläche und gleicher Spannung die kreisförmige den tiefsten Grundtonggibt, Sitzungsber. Bayer. Akad. der Wiss. Math.-Phys. (1923), pp. 169-172 (Munich) | JFM 49.0342.03

[4] Garadedian, P. R.; Schiffer, M. Variational problems in the theory of elliptic partial differetial equations, Journal of Rational Mechanics and Analysis (1953) no. 2, pp. 137-171 | MR 54819 | Zbl 0050.10002

[5] Krahn, E. Uber eine von Raleigh formulierte Minimaleigenschaft der Kreise, Math. Ann. Tome 94 (1924) | JFM 51.0356.05

[6] Krahn, E. Uber Minimaleigenschaften der Kugel in drei und mehr dimensionen, Acta Comm. Univ. Tartu (Dorpat) Tome A9 (1926) | JFM 52.0510.03

[7] Lee, J. M.; Parker, T. H. The Yamabe Problem, Bulletin of the American Mathematical Society, Tome 17 (1987) no. 1, pp. 37-91 | Article | MR 888880 | Zbl 0633.53062

[8] Nardulli, S. Le profil isopérimétrique d’une variété riemannienne compacte pour les petits volumes, Thèse de l’Université Paris 11 (2006)

[9] Pacard, F.; Xu, X. Constant mean curvature sphere in riemannian manifolds (preprint) | Zbl 1165.53038

[10] Schoen, R.; Yau, S. T. Lectures on Differential Geometry, International Press (1994) | MR 1333601 | Zbl 0830.53001

[11] Willmore, T. J. Riemannian Geometry, Oxford Science Publications (1996) | MR 1261641 | Zbl 0797.53002

[12] Ye, R. Foliation by constant mean curvature spheres, Pacific Journal of Mathematics, Tome 147 (1991) no. 2, pp. 381-396 | MR 1084717 | Zbl 0722.53022

[13] Zanger, D. Z. Eigenvalue variation for the Neumann problem, Applied Mathematics Letters, Tome 14 (2001), pp. 39-43 | Article | MR 1793700 | Zbl 0977.58028