Le foncteur V𝔽 2 [V] 3 entre 𝔽 2 -espaces vectoriels est noethérien
Annales de l'Institut Fourier, Tome 59 (2009) no. 2, p. 459-490
Les foncteurs entre espaces vectoriels, ou représentations génériques des groupes linéaires d’après Kuhn, interviennent en topologie algébrique et en K-théorie comme en théorie des représentations. Nous présentons ici une nouvelle méthode pour aborder les problèmes de finitude et la dimension de Krull dans ce contexte.Plus précisément, nous démontrons que, dans la catégorie des foncteurs entre espaces vectoriels sur 𝔽 2 , le produit tensoriel entre P 3 , où P désigne le foncteur projectif V𝔽 2 [V], et un foncteur de longueur finie est noethérien et déterminons sa structure. Seul était antérieurement connu le caractère noethérien de P 2 F pour F de longueur finie.Nous utilisons pour cela plusieurs foncteurs de division, dont nous analysons l’effet sur des foncteurs de type fini de à l’aide des catégories de foncteurs en grassmanniennes. Cela nous permet de ramener le problème initial à des calculs explicites finis portant sur des représentations modulaires de groupes linéaires (où intervient notamment la représentation de Steinberg), qui renseignent finalement sur des phénomènes infinis en théorie des représentations.
Functors between vector spaces, or generic representations of linear groups after Kuhn intervene in algebraic topology and in K-theory as in representation theory. We present here a new method to approach finiteness problems and the Krull dimension in this context.More precisely, we prove that, in the category of functors between 𝔽 2 -vector spaces, the tensor product between P 3 , where P denotes the projective functor V𝔽 2 [V], and a functor of finite length is noetherian and we determine its structure. The only case known to date was the noetherian character of P 2 F for F of finite length.For this we use several division functors, whose effect on finitely generated functors of is analyzed with the help of grassmannian functor categories. It allows us to reduce the initial problem to finite calculations on modular representations of linear groups (where appears in particular Steinberg’s representation), which inform ultimately on infinite phenomena in representation theory.
DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2436
Classification:  18A25,  16P60,  18D10,  18E25,  20C33,  55S10
Mots clés: catégories de foncteurs, représentations modulaires, groupes linéaires, foncteurs de division, filtration de Krull, grassmanniennes.
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Djament, Aurélien. Le foncteur $V\mapsto {\mathbb{F}_2}[V]^{\otimes 3}$ entre $\mathbb{F}_2$-espaces vectoriels est noethérien. Annales de l'Institut Fourier, Tome 59 (2009) no. 2, pp. 459-490. doi : 10.5802/aif.2436. http://www.numdam.org/item/AIF_2009__59_2_459_0/

[1] Curtis, Charles W.; Reiner, Irving Methods of representation theory. Vol. I, John Wiley & Sons Inc., New York, Wiley Classics Library (1990) (With applications to finite groups and orders, Reprint of the 1981 original, A Wiley-Interscience Publication) | MR 1038525 | Zbl 0698.20001

[2] Djament, Aurélian Foncteurs de division et structure de I 2 Λ n dans la catégorie , Ann. Inst. Fourier (Grenoble), Tome 57 (2007) no. 6, pp. 1771-1823 | Article | Numdam | MR 2377886 | Zbl 1132.18002

[3] Djament, Aurélien Foncteurs en grassmanniennes, filtration de Krull et cohomologie des foncteurs, Mém. Soc. Math. Fr. (N.S.) (2007) no. 111, pp. xx+213 | Zbl pre05497703

[4] Franjou, Vincent Extensions entre puissances extérieures et entre puissances symétriques, J. Algebra, Tome 179 (1996) no. 2, pp. 501-522 | Article | MR 1367860 | Zbl 0841.55012

[5] Franjou, Vincent; Friedlander, Eric M.; Pirashvili, Teimuraz; Schwartz, Lionel Rational representations, the Steenrod algebra and functor homology, Société Mathématique de France, Paris, Panoramas et Synthèses [Panoramas and Syntheses], Tome 16 (2003) | MR 2117525 | Zbl 1061.18011

[6] James, G. D. The representation theory of the symmetric groups, Springer, Berlin, Lecture Notes in Mathematics, Tome 682 (1978) | MR 513828 | Zbl 0393.20009

[7] Kuhn, Nicholas J. Generic representations of the finite general linear groups and the Steenrod algebra. I, Amer. J. Math., Tome 116 (1994) no. 2, pp. 327-360 | Article | MR 1269607 | Zbl 0813.20049

[8] Kuhn, Nicholas J. Generic representations of the finite general linear groups and the Steenrod algebra. II, K-Theory, Tome 8 (1994) no. 4, pp. 395-428 | Article | MR 1300547 | Zbl 0830.20065

[9] Mitchell, Stephen On the Steinberg module, representations of the symmetric groups, and the Steenrod algebra, J. Pure Appl. Algebra, Tome 39 (1986) no. 3, pp. 275-281 | Article | MR 821892 | Zbl 0593.20006

[10] Piriou, Laurent; Schwartz, Lionel Extensions de foncteurs simples, K-Theory, Tome 15 (1998) no. 3, pp. 269-291 | Article | MR 1659961 | Zbl 0918.20036

[11] Popescu, N. Abelian categories with applications to rings and modules, Academic Press, London (1973) (London Mathematical Society Monographs, No. 3) | MR 340375 | Zbl 0271.18006

[12] Powell, Geoffrey M. L. The Artinian conjecture for I 2 , J. Pure Appl. Algebra, Tome 128 (1998) no. 3, pp. 291-310 (With an appendix by Lionel Schwartz) | Article | MR 1626361 | Zbl 0928.18004

[13] Powell, Geoffrey M. L. Polynomial filtrations and Lannes’ T-functor, K-Theory, Tome 13 (1998) no. 3, pp. 279-304 | Article | MR 1609897 | Zbl 0892.55009

[14] Powell, Geoffrey M. L. The structure of indecomposable injectives in generic representation theory, Trans. Amer. Math. Soc., Tome 350 (1998) no. 10, pp. 4167-4193 | Article | MR 1458333 | Zbl 0903.18006

[15] Powell, Geoffrey M. L. On Artinian objects in the category of functors between F 2 -vector spaces, Infinite length modules (Bielefeld, 1998), Birkhäuser, Basel (Trends Math.) (2000), pp. 213-228 | MR 1789217 | Zbl 1160.18305 | Zbl pre01574533