Extensions de valuation et polygone de Newton
Annales de l'Institut Fourier, Tome 58 (2008) no. 7, p. 2503-2541
Soient (K,ν) un corps valué et L est une extension monogène finie de K définie par L=K[x]/(P), alors toute valuation de L qui prolonge ν définit une pseudo-valuation ζ de K[x] de noyau l’idéal (P). Nous savons associer à ζ une famille de valuations de K[x], appelée famille admissible, construite de façon explicite à partir de valuations augmentées et de valuations augmentées limites.Nous donnons une condition nécessaire et suffisante pour qu’une valuation μ de K[x] appartienne à la famille admissible associée à une pseudo-valuation ζ correspondant à une valuation de L, condition ne faisant pas intervenir ζ mais uniquement le polynôme P. Nous pouvons ainsi déterminer toutes les valuations de L qui prolongent la valuation ν de K. Pour cela nous définissons le polygone de Newton associé à P, à un polynôme φ et à une valuation μ, à partir du développement de P selon les puissances de φ.
Let (K,ν) be a valued field and L a finite cyclic extension of K defined by L=K[x]/(P), then any valuation of L which extends ν defines a pseudo-valuation ζ on K[x] whose kernel is the principal ideal (P). We know how to associate to ζ a family of valuations on K[x], called an admissible family, which is explicitely constructed by augmented valuations and limit augmented valuations.We give a necessary and sufficient condition for a valuation of K[x] to belong to an admissible family associated to a pseudo-valuation ζ which corresponds to a valuation of L, this condition depends only on the polynomial P. On the way we can determine all the valuations of L which extend the valuation ν of K. To give this condition we define the Newton polygon associated to P, to a polynomial φ and to a valuation μ of K[x].
DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2421
Classification:  13A18,  12J10,  14E15
Mots clés: valuation, extension, polygone de Newton
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Vaquié, Michel. Extensions de valuation  et polygone de Newton. Annales de l'Institut Fourier, Tome 58 (2008) no. 7, pp. 2503-2541. doi : 10.5802/aif.2421. http://www.numdam.org/item/AIF_2008__58_7_2503_0/

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