Eulerian idempotent and Kashiwara-Vergne conjecture  [ Idempotent Eulérien et la conjecture de Kashiwara-Vergne ]
Annales de l'Institut Fourier, Tome 58 (2008) no. 4, p. 1153-1184
Grâce à l’interaction entre l’idempotent de Dynkin et l’idempotent eulérien, on construit une solution particulière et symétrique (F(x,y),F(-y,-x)) de la première équation de la conjecture de Kashiwara-Vergne :x+y-log(eyex)=(1-e- ad x)F(x,y)+(e ad y-1)G(x,y).Puis on explicite toutes les solutions de cette équation dans l’algèbre de Lie libre générée par les indéterminées x et y grâce au noyau de l’idempotent de Dynkin.
By using the interplay between the Eulerian idempotent and the Dynkin idempotent, we construct explicitly a particular symmetric solution (F,G) of the first equation of the Kashiwara-Vergne conjecturex+y-log(eyex)=(1-e- ad x)F(x,y)+(e ad y-1)G(x,y).Then, we explicit all the solutions of the equation in the completion of the free Lie algebra generated by two indeterminates x and y thanks to the kernel of the Dynkin idempotent.
DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2381
Classification:  17Bxx,  16W30,  20C30,  22E45
Mots clés: conjecture de Kashiwara-Vergne, série de Baker-Campbell-Hausdorff, idempotent Eulérien , idempotent de Dynkin, algèbre de Hopf
@article{AIF_2008__58_4_1153_0,
     author = {Burgunder, Emily},
     title = {Eulerian idempotent and Kashiwara-Vergne conjecture},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     publisher = {Association des Annales de l'institut Fourier},
     volume = {58},
     number = {4},
     year = {2008},
     pages = {1153-1184},
     doi = {10.5802/aif.2381},
     mrnumber = {2427957},
     zbl = {pre05303672},
     language = {en},
     url = {http://www.numdam.org/item/AIF_2008__58_4_1153_0}
}
Burgunder, Emily. Eulerian idempotent and Kashiwara-Vergne conjecture. Annales de l'Institut Fourier, Tome 58 (2008) no. 4, pp. 1153-1184. doi : 10.5802/aif.2381. http://www.numdam.org/item/AIF_2008__58_4_1153_0/

[1] Alekseev, A.; Meinrenken, E. On the Kashiwara-Vergne conjecture, Invent. Math., Tome 164 (2006), pp. 615-634 | Article | MR 2221133 | Zbl 1096.22007

[2] Alekseev, A.; Petracci, E. Uniqueness in the Kashiwara-Vergne conjecture, J. Lie Theory 16, Tome 3 (2006), pp. 531-538 | MR 2248143 | Zbl 1111.22017

[3] Cohn, P. M. Integral modules, Lie Rings and Free Groups, University of Cambridge (1951) (Ph. D. Thesis)

[4] Kashiwara, M.; Vergne, M. The Campbell-Hausdorff formula and invariant hyperfunctions, Invent. Math., Tome 47 (1978), pp. 249-272 | Article | MR 492078 | Zbl 0404.22012

[5] Kontsevich, M. Deformation quantization of Poisson manifolds, Lett. Math. Phys., Tome 66 (2003), pp. 157-216 | Article | MR 2062626 | Zbl 1058.53065

[6] Loday, J.-L. Série de Hausdorff, idempotents eulériens et algèbres de Hopf, Expo. Math., Tome 12 (1994), pp. 165-178 | MR 1274784 | Zbl 0807.17003

[7] Patras, F.; Reutenauer, C. On Dynkin and Klyachko idempotents in graded bialgebras, Adv. in Applied Math., Tome 28 (2002), pp. 560-579 | Article | MR 1900008 | Zbl 1024.16021

[8] Reutenauer, C. Free Lie Algebras, Oxford University Press (1993) | MR 1231799 | Zbl 0798.17001

[9] Rouvière, F. Démonstration de la conjecture de Kashiwara-Vergne pour l’algèbre sl(2), C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., Tome 292 (1981), pp. 657-660 | Zbl 0467.22011

[10] Torossian, C. Sur la conjecture combinatoire de Kashiwara-Vergne, J. Lie Theory, Tome 12 (2002), pp. 597-616 | MR 1923789 | Zbl 1012.17002

[11] Vergne, M. Le centre de l’algèbre enveloppante et la formule de Campbell-Hausdorff, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I Math., Tome 329 (1999), pp. 767-772 | Article | Zbl 0989.17007

[12] Wigner, D. An identity in the free Lie algebra, Proc. Amer. Math. Soc. (1989), p. 639-640 | Article | MR 969322 | Zbl 0682.17007