Représentations cristallines dans le cas d’un corps résiduel imparfait  [ Cristalline representations in the nonperfect residue field case ]
Annales de l'Institut Fourier, Volume 56 (2006) no. 4, p. 919-999

Let K be a complete discrete valuation field of characteristic 0, with residue field k K of characteristic p. We assume that k K admits a finite p-basis. Let K ¯ be an algebraic closure of K and G K =GalK ¯ / K. We construct and study p-adic periods rings B cris B dR generalizing those defined by J.-M.Fontaine when k K is perfect. Those rings are endowed with the usual extra structures plus a connection. They allow to extend the notions of crystalline and de Rham p-adic representations of G K to the case of non perfect k K . The main result of this work, generalizing a theorem of P.Colmez and J.-M.Fontaine, is the fact that the category of crystalline p-adic representations of G K is equivalent to the category of weakly admissible F-isocrystals filtered over K.

Soit K un corps de valuation discrète complet de caractéristique 0, dont le corps résiduel k K est de caractéristique p. On suppose que k K admet une p-base finie. Soient K ¯ une clôture algébrique de K et G K =GalK ¯ / K. On construit et étudie des anneaux de périodes p-adiques B cris B dR qui généralisent ceux définis par J.-M. Fontaine dans le cas où le corps résiduel k K est parfait. Ces anneaux sont munis des structures supplémentaires habituelles ainsi que d’une connexion. Ils permettent d’étendre les notions de représentation p-adique cristalline et de représentation p-adique de Rham de G K au cas où k K n’est pas parfait. Le résultat principal de ce travail est le fait que la catégorie des représentations p-adiques cristallines de G K est équivalente à la catégorie des F-isocristaux filtrés sur K faiblement admissibles, ce qui généralise un théorème de P.Colmez et J.-M.Fontaine.

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2205
Classification:  11F80,  11F85,  11S15,  11S20,  11S25
Keywords: Local fields, p-adic periods, Galois representations
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Brinon, Olivier. Représentations cristallines dans le cas d’un corps résiduel imparfait. Annales de l'Institut Fourier, Volume 56 (2006) no. 4, pp. 919-999. doi : 10.5802/aif.2205. http://www.numdam.org/item/AIF_2006__56_4_919_0/

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