Sommes des chiffres de multiples d'entiers

Dartyge, Cécile; Tenenbaum, Gérald

Sommes des chiffres de multiples d'entiers [ Sums of digits of multiples of integers ]

Dartyge, Cécile; Tenenbaum, Gérald

Annales de l'Institut Fourier, Volume 55 (2005) no. 7, p. 2423-2474

Abstract
Résumé

Let $q \in ℕ$ , $q \geq 2$ . For $n \in ℕ$ , denote by $s_{q} (n)$ the sum of digits of $n$ in the $q$ -ary digital expansion. We give upper bounds for exponential sums like $G (x, y, θ; α, b f h) = \sum_{x < n \leq x + y} exp (2 i π (α_{1} s_{q} (h_{1} n) + \dots + α_{r} s_{q} (h_{r} n) + θ n)),$ with $r \in ℕ^{*}$ , $𝐡 \in ℕ^{* r}$ and $θ \in r$ . The case $r = 1$ has already been studied by Gelfond and the case $r \geq 2$ by Coquet and Solinas. For $r \geq 2$ , our results are more precises and significative for a wider range of $𝐡$ . Furthermore they are uniform in $x$ and $θ$ and explicits in $𝐡$ . The control of these parameters is crucial for various applications given in the paper. For example we prove that if $k \in ℕ$ , $k \geq 2$ , there exists infinitely many integers $n$ with exactly $k$ prime factors and such that $s_{q} (n) \equiv a m$ (for $(m, q - 1) = 1$ ). We also obtain upper bounds of sums of the form $\sum_{n \leq x} exp (2 i π α s_{q} (h n)) f (n)$ where $f$ is a multiplicative fonction of modulus less than $1$ .

Soit $q \in ℕ$ , $q \geq 2$ . Pour $n \in ℕ$ , on note $s_{q} (n)$ la somme des chiffres de $n$ en base $q$ . Nous donnons des majorations de sommes d’exponentielles de la forme $G (x, y, θ; α, 𝐡) = \sum_{x < n \leq x + y} exp (2 i π (α_{1} s_{q} (h_{1} n) + \dots + α_{r} s_{q} (h_{r} n) + θ n)),$ pour $r \in ℕ^{*}$ , $𝐡 \in ℕ^{* r}$ et $θ \in r$ . De telles sommes ont déjà été étudiées dans le cas $r = 1$ par Gelfond, et pour $r \geq 2$ entre autre par Coquet et Solinas. Nos résultats étendent le domaine de validité en $𝐡$ de ces précédents travaux pour $r \geq 2$ , sont plus précis et ont l’avantage d’être uniformes en $x$ et $r$ et effectifs en $𝐡$ . Ce contrôle soigneux des paramètres nous permet d’obtenir divers types d’applications. Nous montrons par exemple que pour $k \geq 2$ il existe une infinité d’entiers $n$ avec exactement $k$ facteurs premiers et vérifiant $s_{q} (n) \equiv a m$ (pour $(m, q - 1) = 1$ ). Nous obtenons également des majorations de sommes de la forme $\sum_{n \leq x} exp (2 i π α s_{q} (h n)) f (n)$ où $f$ est une fonction multiplicative de module au plus $1$ .

MR 2207389 | Zbl 05015294 | 1 citation in Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2166
Classification: 11L07, 11B85, 11A63
Keywords: Sums of digits, arithmetic progression, multiplicatives functions
Keywords: Sums of digits, arithmetic progression, multiplicatives functions

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Sommes des chiffres de multiples d'entiers. Annales de l'Institut Fourier, Volume 55 (2005) no. 7, pp. 2423-2474. doi : 10.5802/aif.2166. http://www.numdam.org/item/AIF_2005__55_7_2423_0/

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