Uniformisation des variétés de Laumon-Rapoport-Stuhler et conjecture de Drinfeld-Carayol  [ Uniformization of Laumon-Rapoport-Stuhler varieties and Drinfeld-Carayol conjecture ]
Annales de l'Institut Fourier, Volume 55 (2005) no. 4, p. 1285-1371

Let us consider Laumon-Rapoport-Stuhler modular varieties $ℰ\ell \ell$ for “$D$- elliptic sheaves”, which are defined over a function field $F$ in one variable over a finite field, for a division algebra $D$ of dimension ${d}^{2}$ over $F$. We show that these varieties admit, at a place $o$ of $F$ where ${D}_{o}$ is a skew field of invariant $1/d$, a rigid-analytic uniformization by Drinfeld’s space ${\Omega }^{d}$, or by the coverings ${\Sigma }_{n}^{d}$ of ${\Omega }^{d}$ (depending on the level structure). This result is the analogue of Čerednik’s theorem, which is well known in the number field case. As an application, we prove a conjecture of Carayol’s : the inductive limit ${\Psi }_{d}$ over $n$ of the $\ell$-adic cohomology groups with support, in median degree, of the coverings ${\Sigma }_{n}^{d}$ - on wich the product GL${}_{d}\left({F}_{o}\right)×{D}_{o}^{*}×{W}_{{F}_{o}}$ acts - yields a geometrical simultaneous realization of the local Langlands and Jacquet-Langlands correspondences. Our proof is of “global” nature : using the uniformization theorem, we compare the local representation ${\Psi }_{d}$ to the global cohomology of the moduli variety $ℰ\ell \ell$ .

Considérons les variétés de “$D$-faisceaux elliptiques” $ℰ\ell \ell$ introduites par Laumon, Rapoport et Stuhler, définies sur un corps de fonctions $F$ d’une variable sur un corps fini, où $D$ est une algèbre de division de dimension ${d}^{2}$ sur $F$. Nous montrons que ces variétés admettent, en une place $o$ de $F$${D}_{o}$ est un corps gauche d’invariant $1/d$, une uniformisation rigide-analytique par l’espace de Drinfeld ${\Omega }^{d}$, ou par les revêtements ${\Sigma }_{n}^{d}$ de ${\Omega }^{d}$ (selon la structure de niveau). Ce résultat constitue l’analogue du théorème de Čerednik bien connu dans le cas des corps de nombres. Comme application, nous démontrons une conjecture de Carayol : la limite inductive ${\Psi }_{d}$, suivant $n$, des groupes de cohomologie $\ell$-adique avec support, en degré médian, des revêtements ${\Sigma }_{n}^{d}$ - sur laquelle agit le produit GL${}_{d}\left({F}_{o}\right)×{D}_{o}^{*}×{W}_{{F}_{o}}$ - constitue une réalisation géométrique simultanée des correspondances locales de Langlands et de Jacquet-Langlands (du moins pour les cuspidales). Notre preuve est de nature “globale” : via le théorème d’uniformisation, on compare la représentation locale ${\Psi }_{d}$ à la cohomologie globale de la variété modulaire $ℰ\ell \ell$.

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2126
Classification:  11G,  11S37,  11G09,  11G18,  14G22
Keywords: Rigid-analytic uniformization, Drinfeld modular varieties, local Langlands correspondence
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Hausberger, Thomas. Uniformisation des variétés de Laumon-Rapoport-Stuhler et conjecture de Drinfeld-Carayol. Annales de l'Institut Fourier, Volume 55 (2005) no. 4, pp. 1285-1371. doi : 10.5802/aif.2126. http://www.numdam.org/item/AIF_2005__55_4_1285_0/

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