Hauteurs des sous-schémas de dimension nulle de l'espace projectif
Annales de l'Institut Fourier, Tome 53 (2003) no. 7, p. 2155-2224
Dans ce texte on introduit une notion de hauteur pour les sous-schémas d'une variété arithmétique. Dans le cas particulier d'un sous-schéma de dimension (générique) nulle de l'espace projectif, on donne pour ces hauteurs une estimation qui prend la forme d'une formule de Hilbert-Samuel arithmétique, généralisant ainsi des résultats de M. Laurent sur les hauteurs de matrices d'interpolation. Les trois premiers termes du développement asymptotique ainsi obtenu peuvent s'analyser comme suit : le premier est linéaire, de coefficient donné par la hauteur du cycle associé au sous-schéma considéré ; le second est logarithmique et s'exprime en fonction des longueurs des jets du sous-schéma à l'infini ; enfin le troisième est une constante rendant compte de la ramification du sous- schéma et de la hauteur de son cône tangent. L'article s'achève par une étude du terme d'erreur de cette formule lorsque le sous-schéma est réduit : on montre que celui-ci se décompose en somme de contributions locales qui décroissent en valeur absolue. Ceci admet une interprétation agréable en termes de géométrie hermitienne et de cohomologie.
In this text we introduce a notion of height for subschemes of an arithmetic variety. In the particular case of a subscheme of (generic) dimension zero in a projective space, we give estimates for these heights which take the form of an arithmetic Hilbert-Samuel formula. This generalizes results of M. Laurent on heights of interpolation matrices. The first three terms of the asymptotic development thus obtained can be analyzed as follows: the first is linear, with coefficient given by the height of the cycle associated to the subscheme; the second is logarithmic and depends on the lengths of the jets of the subscheme along its points at infinity; finally the third is a constant depending on the ramification of the subscheme and on the height of its tangent cone. In the last section of this article, we study the error term of this formula, at least when the subscheme is reduced. We show that it decomposes as a sum of local contributions which decrease in absolute value. This result admits a nice interpretation in terms of hermitian geometry and of cohomology.
DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2003
Classification:  14G40,  11G50
Mots clés: hauteurs, fonction de Hilbert-Samuel arithmétique, matrices d'interpolation
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Randriambololona, Hugues. Hauteurs des sous-schémas de dimension nulle de l'espace projectif. Annales de l'Institut Fourier, Tome 53 (2003) no. 7, pp. 2155-2224. doi : 10.5802/aif.2003. http://www.numdam.org/item/AIF_2003__53_7_2155_0/

[1] J.-B Bost; H. Gillet; C. Soulé Heights of Projective Varieties and Positive Green Forms, Journal Amer. Math. Soc, Tome 7 (1994), pp. 903-1027 | Article | MR 1260106 | Zbl 0973.14013

[2] B. Conrad Grothendieck Duality and Base Change, Springer-Verlag, Lecture Notes in Mathematics (1750) | MR 1804902 | Zbl 0992.14001

[3] W. Fulton Intersection theory, Springer-Verlag, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 3. Folge, Tome Vol. 2 (1998) | MR 1644323 | Zbl 0885.14002

[4] A. Grothendieck; 61 Techniques de construction et théorèmes d'existence en géométrie algébrique. IV : Les schémas de Hilbert, Fondements de la géométrie algébrique (Séminaire Bourbaki) Tome exposé 221 (1960) | Numdam | Zbl 0236.14003

[5] A. Grothendieck; J. Dieudonné Éléments de géométrie algébrique, Publ. Math. IHÉS, Tome 4, 8, 11, 17, 20, 24, 28, 32 (1960-1967) | Numdam

[6] R. Hartshorne Residues and Duality, Springer-Verlag, Lecture Notes in Mathematics, Tome 20 (1966) | MR 222093 | Zbl 0212.26101

[7] J. Kollár Rational Curves on Algebraic Varieties, Springer-Verlag, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 3. Folge, Tome Vol. 32 (1996) | MR 1440180 | Zbl 0877.14012

[8] M. Laurent; P. Philippon (Ed.) Hauteur de matrices d'interpolation, Approximations Diophantiennes et Nombres Transcendants (Luminy, 1990), de Gruyter (1992), pp. 215-238 | Zbl 0773.11047

[9] B. Mazur; L. Roberts Local Euler characteristics, Inventiones Math., Tome 9 (1970), pp. 201-234 | Article | MR 258844 | Zbl 0191.19202

[10] D. Mumford Lectures on Curves on an Algebraic Surface (with a section by G. Bergman), Princeton University Press, Annals of Mathematics Studies, Tome 59 (1966) | MR 209285 | Zbl 0187.42701

[11] W.M. Schmidt On heights of algebraic subspaces and diophantine approximations, Annals of Math, Tome 85 (1967), pp. 430-472 | Article | MR 213301 | Zbl 0152.03602

[12] J.-P Serre Corps locaux, Hermann (1968) | MR 354618 | Zbl 0137.02601