Double Schubert polynomials and degeneracy loci for the classical groups

Nous proposons une théorie des polynômes de Schubert doubles $P_w(X,Y)$ pour les types de Lie $B,C,D$ qui étend naturellement la famille de Lascoux et Schützenberger pour le type $A$. Ces polynômes possèdent des propriétés de positivité, d’orthogonalité et de stabilité, et représentent les classes des variétés de Schubert et des lieux de dégénérescence des fibrés vectoriels. Quand $w$ est un élément grassmannien maximal du groupe de Weyl, $P_w(X,Y)$ s’exprime en termes de déterminants du type de Schur et de pfaffiens, de manière analogue à la formule de Kempf et Laksov pour le type $A$. Un exemple, motivé par la cohomologie quantique, montre qu’aucune formule dans les classes de Chern ne décrit les lieux de dégénérescence des “morphismes isotropes” des fibrés.

We propose a theory of double Schubert polynomials $P_w(X,Y)$ for the Lie types $B$, $C$, $D$ which naturally extends the family of Lascoux and Schützenberger in type $A$. These polynomials satisfy positivity, orthogonality and stability properties, and represent the classes of Schubert varieties and degeneracy loci of vector bundles. When $w$ is a maximal Grassmannian element of the Weyl group, $P_w(X,Y)$ can be expressed in terms of Schur-type determinants and Pfaffians, in analogy with the type $A$ formula of Kempf and Laksov. An example, motivated by quantum cohomology, shows there are no Chern class formulas for degeneracy loci of “isotropic morphisms” of bundles.