Degeneration of Schubert varieties of SL n /B to toric varieties
[Dégénérescence des variétés de Schubert de SL n /B en des variétés toriques]
Annales de l'Institut Fourier, Tome 51 (2001) no. 6, pp. 1525-1538.

Dans cet article on montre la dégénérescence d’une large classe de variétés de Schubert dans SL n /B en des varietés toriques. Pour cela on utilise les résultats d’un article précédent, dans lequel pour chaque élément w, du groupe de Weyl, on construit n-1 polytopes Δ 1 ...Δ n-1 ayant la propriété suivante : le nombre des points à coordonnées entières dans k i Δ i est la dimension, comme espace vectoriel sur , du module de Demazure E w (k i w i ), où les w i désignent les poids fondamentaux de SL n (). Or la donnée de n-1 polytopes est équivalente à la donnée d’une variété torique munie de n-1 fibrés en droite 1 ... n-1 . L’objectif est de trouver une déformation plate de la variété de Schubert S w , munie des fibrés en droites w en la variété torique X munie des i . La démonstration est basée sur un théorème dû à Gonciulea- Lakshmibai impliquant la construction d’un treillis distributif sur un sous-ensemble du groupe de Weyl. L’avantage de cette approche est que d’un côté l’algèbre associée à ce treillis est étroitement liée à la variété torique X et de l’autre côté on sait comment dégénérer l’anneau des coordonnées homogènes sur S w en cette algèbre.

Using the polytopes defined in an earlier paper, we show in this paper the existence of degeneration of a large class of Schubert varieties of SL n to toric varieties by extending the method used by Gonciulea and Lakshmibai for a miniscule G/P to Schubert varieties in SL n .

DOI : 10.5802/aif.1864
Classification : 14M15, 14M25, 06D05
Keywords: Schubert varieties, toric varieties, flat deformations
Mot clés : variétés de Schubert, variétés toriques, déformations plates
Dehy, Raika 1 ; Yu, Rupert W.T. 2

1 Université de Cergy-Pontoise, Département de Mathématiques, 2 avenue Adolphe Chauvin, 95032 Cergy Cedex (France)
2 Université de Poitiers, Département de Mathématiques, Boulevard Marie et Pierre Curie, Téléport 2, BP 30179, 86962 Futuroscope Chasseneuil Cedex (France)
@article{AIF_2001__51_6_1525_0,
     author = {Dehy, Raika and Yu, Rupert W.T.},
     title = {Degeneration of {Schubert} varieties of $SL_n/B$ to toric varieties},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {1525--1538},
     publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier},
     volume = {51},
     number = {6},
     year = {2001},
     doi = {10.5802/aif.1864},
     mrnumber = {1870638},
     zbl = {1017.14019},
     language = {en},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1864/}
}
TY  - JOUR
AU  - Dehy, Raika
AU  - Yu, Rupert W.T.
TI  - Degeneration of Schubert varieties of $SL_n/B$ to toric varieties
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 2001
SP  - 1525
EP  - 1538
VL  - 51
IS  - 6
PB  - Association des Annales de l’institut Fourier
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1864/
DO  - 10.5802/aif.1864
LA  - en
ID  - AIF_2001__51_6_1525_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Dehy, Raika
%A Yu, Rupert W.T.
%T Degeneration of Schubert varieties of $SL_n/B$ to toric varieties
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 2001
%P 1525-1538
%V 51
%N 6
%I Association des Annales de l’institut Fourier
%U http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1864/
%R 10.5802/aif.1864
%G en
%F AIF_2001__51_6_1525_0
Dehy, Raika; Yu, Rupert W.T. Degeneration of Schubert varieties of $SL_n/B$ to toric varieties. Annales de l'Institut Fourier, Tome 51 (2001) no. 6, pp. 1525-1538. doi : 10.5802/aif.1864. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1864/

[1] C. de Concini; D. Eisenbud; C. Procesi Hodge algebras, Astérisque, Volume 91 (1982) | Numdam | MR | Zbl

[2] R. Dehy Polytopes associated to Demazure modules of Symmetrizable Kac-Moody algebras of rank two, Journal of Algebra, Volume 228 (2000), pp. 60-90 | DOI | MR | Zbl

[3] R. Dehy; R.W.T. Yu Polytopes associated to certain Demazure modules of 𝔰𝔩 ( n ) , Journal of Algebraic Combinatorics, Volume 10 (1999), pp. 149-172 | DOI | MR | Zbl

[4] D. Eisenbud; B. Sturmfels Binomial ideals, Duke Math. J., Volume 84 (1996), pp. 1-45 | DOI | MR | Zbl

[5] N. Gonciulea; V. Lakshmibai Degenerations of flag and Schubert varieties to toric varieties, Transformation Groups, Volume 2 (1996), pp. 215-249 | DOI | MR | Zbl

[6] T. Hibi Distributive lattices, affine semigroup rings, and algebras with straightening laws, Commutative algebra and combinatorics (Advanced Studies in Pure Math.), Volume 11 (1987), pp. 93-109 | Zbl

[7] C. Huneke; V. Lakshmibai Degeneracy of Schubert varieties., Kazhdan-Lusztig theory and related topics (Chicago, IL, 1989) (Contemp. Math.), Volume 139 (1992), pp. 181-235 | Zbl

[8] G. Kempf; A. Ramanthan Multicones over Schubert Varieties, Invent. Math., Volume 87 (1987), pp. 353-363 | DOI | MR | Zbl

[9] V. Lakshmibai; C. Musili; C. S. Seshadri Geometry of G/P. IV. Standard monomial theory for classical types, Proc. Indian Acad. Sci., Sect. A Math. Sci, Volume 88 (1979), pp. 279-362 | DOI | MR | Zbl

[10] V. Lakshmibai; C. S. Seshadri Geometry of G/P. V, J. Algebra, Volume 100 (1986), pp. 462-557 | MR | Zbl

[11] B. Teissier Variétés toriques et polytopes, Séminaire Bourbaki (Lecture Notes in Math.), Volume 901, exposé 565 (1981), pp. 71-84 | Numdam | Zbl

Cité par Sources :