Degeneration of Schubert varieties of SL n /B to toric varieties
Annales de l'Institut Fourier, Volume 51 (2001) no. 6, p. 1525-1538

Using the polytopes defined in an earlier paper, we show in this paper the existence of degeneration of a large class of Schubert varieties of SL n to toric varieties by extending the method used by Gonciulea and Lakshmibai for a miniscule G/P to Schubert varieties in SL n .

Dans cet article on montre la dégénérescence d’une large classe de variétés de Schubert dans SL n /B en des varietés toriques. Pour cela on utilise les résultats d’un article précédent, dans lequel pour chaque élément w, du groupe de Weyl, on construit n-1 polytopes Δ 1 ...Δ n-1 ayant la propriété suivante : le nombre des points à coordonnées entières dans k i Δ i est la dimension, comme espace vectoriel sur , du module de Demazure E w (k i w i ), où les w i désignent les poids fondamentaux de SL n (). Or la donnée de n-1 polytopes est équivalente à la donnée d’une variété torique munie de n-1 fibrés en droite 1 ... n-1 . L’objectif est de trouver une déformation plate de la variété de Schubert S w , munie des fibrés en droites w en la variété torique X munie des i . La démonstration est basée sur un théorème dû à Gonciulea- Lakshmibai impliquant la construction d’un treillis distributif sur un sous-ensemble du groupe de Weyl. L’avantage de cette approche est que d’un côté l’algèbre associée à ce treillis est étroitement liée à la variété torique X et de l’autre côté on sait comment dégénérer l’anneau des coordonnées homogènes sur S w en cette algèbre.

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1864
Classification:  14M15,  14M25,  06D05
Keywords: Schubert varieties, toric varieties, flat deformations
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Dehy, Raika; Yu, Rupert W.T. Degeneration of Schubert varieties of $SL_n/B$ to toric varieties. Annales de l'Institut Fourier, Volume 51 (2001) no. 6, pp. 1525-1538. doi : 10.5802/aif.1864. http://www.numdam.org/item/AIF_2001__51_6_1525_0/

[1] C. De Concini; D. Eisenbud; C. Procesi Hodge algebras, Astérisque, Tome 91 (1982) | MR 680936 | Zbl 0509.13026

[2] R. Dehy Polytopes associated to Demazure modules of Symmetrizable Kac-Moody algebras of rank two, Journal of Algebra, Tome 228 (2000), pp. 60-90 | Article | MR 1760956 | Zbl 0973.17033

[3] R. Dehy; R.W.T. Yu Polytopes associated to certain Demazure modules of 𝔰𝔩 ( n ) , Journal of Algebraic Combinatorics, Tome 10 (1999), pp. 149-172 | Article | MR 1719132 | Zbl 0966.17004

[4] D. Eisenbud; B. Sturmfels Binomial ideals, Duke Math. J., Tome 84 (1996), pp. 1-45 | Article | MR 1394747 | Zbl 0873.13021

[5] N. Gonciulea; V. Lakshmibai Degenerations of flag and Schubert varieties to toric varieties, Transformation Groups, Tome 2 (1996), pp. 215-249 | Article | MR 1417711 | Zbl 0909.14028

[6] T. Hibi Distributive lattices, affine semigroup rings, and algebras with straightening laws, Commutative algebra and combinatorics (Advanced Studies in Pure Math.) Tome 11 (1987), pp. 93-109 | Zbl 0654.13015

[7] C. Huneke; V. Lakshmibai Degeneracy of Schubert varieties., Kazhdan-Lusztig theory and related topics (Chicago, IL, 1989), Amer. Math. Soc., Providence, RI (Contemp. Math.) Tome 139 (1992), pp. 181-235 | Zbl 0806.14036

[8] G. Kempf; A. Ramanthan Multicones over Schubert Varieties, Invent. Math., Tome 87 (1987), pp. 353-363 | Article | MR 870733 | Zbl 0615.14028

[9] V. Lakshmibai; C. Musili; C. S. Seshadri Geometry of G/P. IV. Standard monomial theory for classical types, Proc. Indian Acad. Sci., Sect. A Math. Sci, Tome 88 (1979), pp. 279-362 | Article | MR 553746 | Zbl 0447.14013

[10] V. Lakshmibai; C. S. Seshadri Geometry of G/P. V, J. Algebra, Tome 100 (1986), pp. 462-557 | MR 840589 | Zbl 0618.14026

[11] B. Teissier Variétés toriques et polytopes, Séminaire Bourbaki, Springer-Verlag, New York (Lecture Notes in Math.) Tome 901, exposé 565 (1981), pp. 71-84 | Numdam | Zbl 0494.52010