Complétude asymptotique pour l'équation des ondes dans une classe d'espaces-temps stationnaires et asymptotiquement plats
[Asymptotic completeness for the wave equation in a class of stationary and asymptotically flat space-times]
Annales de l'Institut Fourier, Volume 51 (2001) no. 3, pp. 779-833.

Using a time-dependent method we show asymptotic completeness for the wave equation in a class of stationary and asymptotically flat space-times. We introduce the asymptotic velocity observable and we describe its spectrum (under hypotheses weaker than for asymptotic completeness). The methods used are inspired by those of the analysis of the two-body problem in quantum mechanics.

En utilisant une méthode dépendante du temps, nous démontrons la complétude asymptotique pour l'équation des ondes dans une classe d'espaces-temps stationnaires et asymptotiquement plats. On introduit l'observable de vitesse asymptotique et on décrit son spectre (sous des hypothèses plus faibles que pour la complétude asymptotique). Les méthodes utilisées sont inspirées par celles de l'analyse du problème à deux corps en mécanique quantique.

DOI: 10.5802/aif.1837
Classification: 35L05,  35P25,  35Q75,  58J45,  58J50
Keywords: scattering theory, stationary space-times, wave equation, asymptotic completeness, asymptotic velocity
Häfner, Dietrich 1

1 École Polytechnique, Centre de Mathématiques, Plateau de Palaiseau, 91128 Palaiseau Cedex (France)\& Université de Tours, Laboratoire de Mathématiques et Physique Théorique, Parc de Grandmont, 37200 TOURS (France)
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Häfner, Dietrich. Complétude asymptotique pour l'équation des ondes dans une classe d'espaces-temps stationnaires et asymptotiquement plats. Annales de l'Institut Fourier, Volume 51 (2001) no. 3, pp. 779-833. doi : 10.5802/aif.1837. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1837/

[1] W. Amrein; A. Boutet de Monvel; V. Georgescu C 0 -groups, commutator methods and spectral theory of N -body hamiltonians, Birkhäuser Verlag, 1996 | Zbl

[2] N. Aronszajn A unique continuation theorem for solutions of elliptic partial differential equations or inequalities of second order, J. Math. Pur. Appl. (9), Volume 36 (1957), pp. 235-249 | MR | Zbl

[3] A. Bachelot Asymptotic completeness for the Klein-Gordon equation on the Schwarzschild metric, Ann. I.H.P., Phys. Théorique, Volume 61 (1994), pp. 411-441 | Numdam | MR | Zbl

[4] S. Debièvre; P. Hislop; I.M. Sigal Scattering theory for the wave equation on non-compact manifolds, Rev. Math. Phys., Volume 4 (1992), pp. 575-618 | DOI | MR | Zbl

[5] J. Dereziński; C. Gérard Scattering theory of classical and quantum N-particle systems, Springer, 1997 | MR | Zbl

[6] J. Dimock Scattering for the wave equation on the Schwarzschild metric, Gen. Rel. Grav., Volume 17 (1985), pp. 353-369 | DOI | MR | Zbl

[7] R. Froese; P. Hislop Spectral analysis of second-order elliptic operators on noncompact manifolds, Duke Math. J., Volume 58 (1989), pp. 103-129 | MR | Zbl

[8] V. Georgescu; C. Gérard On the virial theorem in quantum mechanics, Comm. Math. Phys., Volume 208 (1999), pp. 275-281 | DOI | MR | Zbl

[9] C. Gérard; F. Nier Scattering theory for the perturbations of periodic Schrödinger operators, J. Math. Kyoto Univ., Volume 38 (1998), pp. 595-634 | MR | Zbl

[10] R.P. Geroch The domain of dependence, J. Math. Phys., Volume 11 (1970), pp. 437-449 | DOI | MR | Zbl

[11] A. Hassell; A. Vasy Symbolic functional calculus of N body resolvent estimates, J. Funct. Anal., Volume 173 (2000), pp. 257-283 | DOI | MR | Zbl

[12] L. Hörmander The analysis of linear partial differential operators 3, Springer, 1985 | Zbl

[13] T. Ikebe; J. Uchiyama On the asymptotic behavior of eigenfunctions of second-order elliptic operators, J. Math. Kyoto Univ., Volume 11 (1971), pp. 425-448 | MR | Zbl

[14] B. S. Kay Linear spin-zero quantum fields in external gravitational and scalar fields, Comm. Math. Phys., Volume 62 (1978), pp. 55-70 | DOI | MR

[15] E. Mourre Absence of singular continous spectrum for certain self-adjoint operators, Comm. Math. Phys., Volume 78 (1981), pp. 391-408 | DOI | MR | Zbl

[16] S. Reed; B. Simon Methods of modern mathematical physics 2 : Fourier Analysis, self adjointness (1975) | Zbl

Cited by Sources: