Complétude asymptotique pour l'équation des ondes dans une classe d'espaces-temps stationnaires et asymptotiquement plats

Häfner, Dietrich

doi:10.5802/aif.1837

Häfner, Dietrich ¹

¹ École Polytechnique, Centre de Mathématiques, Plateau de Palaiseau, 91128 Palaiseau Cedex (France)\& Université de Tours, Laboratoire de Mathématiques et Physique Théorique, Parc de Grandmont, 37200 TOURS (France)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 51 (2001) no. 3, pp. 779-833.

Résumé
Abstract

En utilisant une méthode dépendante du temps, nous démontrons la complétude asymptotique pour l'équation des ondes dans une classe d'espaces-temps stationnaires et asymptotiquement plats. On introduit l'observable de vitesse asymptotique et on décrit son spectre (sous des hypothèses plus faibles que pour la complétude asymptotique). Les méthodes utilisées sont inspirées par celles de l'analyse du problème à deux corps en mécanique quantique.

Using a time-dependent method we show asymptotic completeness for the wave equation in a class of stationary and asymptotically flat space-times. We introduce the asymptotic velocity observable and we describe its spectrum (under hypotheses weaker than for asymptotic completeness). The methods used are inspired by those of the analysis of the two-body problem in quantum mechanics.

MR Zbl | 4 citations dans Numdam

DOI : 10.5802/aif.1837

Classification : 35L05, 35P25, 35Q75, 58J45, 58J50
Mot clés : théorie de la diffusion, espaces-temps stationnaires, équation des ondes, complétude asymptotique, vitesse asymptotique
Keywords: scattering theory, stationary space-times, wave equation, asymptotic completeness, asymptotic velocity

Affiliations des auteurs :

Häfner, Dietrich ¹

@article{AIF_2001__51_3_779_0,
     author = {H\"afner, Dietrich},
     title = {Compl\'etude asymptotique pour l'\'equation des ondes dans une classe d'espaces-temps stationnaires et asymptotiquement plats},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {779--833},
     publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier},
     volume = {51},
     number = {3},
     year = {2001},
     doi = {10.5802/aif.1837},
     mrnumber = {1838466},
     zbl = {0981.35031},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1837/}
}

TY  - JOUR
AU  - Häfner, Dietrich
TI  - Complétude asymptotique pour l'équation des ondes dans une classe d'espaces-temps stationnaires et asymptotiquement plats
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 2001
SP  - 779
EP  - 833
VL  - 51
IS  - 3
PB  - Association des Annales de l’institut Fourier
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1837/
DO  - 10.5802/aif.1837
LA  - fr
ID  - AIF_2001__51_3_779_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Häfner, Dietrich
%T Complétude asymptotique pour l'équation des ondes dans une classe d'espaces-temps stationnaires et asymptotiquement plats
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 2001
%P 779-833
%V 51
%N 3
%I Association des Annales de l’institut Fourier
%U http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1837/
%R 10.5802/aif.1837
%G fr
%F AIF_2001__51_3_779_0

Häfner, Dietrich. Complétude asymptotique pour l'équation des ondes dans une classe d'espaces-temps stationnaires et asymptotiquement plats. Annales de l'Institut Fourier, Tome 51 (2001) no. 3, pp. 779-833. doi : 10.5802/aif.1837. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1837/

Bibliographie
Cité par

[1] W. Amrein; A. Boutet de Monvel; V. Georgescu $C_{0}$ -groups, commutator methods and spectral theory of $N$ -body hamiltonians, Birkhäuser Verlag, 1996 | Zbl

[2] N. Aronszajn A unique continuation theorem for solutions of elliptic partial differential equations or inequalities of second order, J. Math. Pur. Appl. (9), Volume 36 (1957), pp. 235-249 | MR | Zbl

[3] A. Bachelot Asymptotic completeness for the Klein-Gordon equation on the Schwarzschild metric, Ann. I.H.P., Phys. Théorique, Volume 61 (1994), pp. 411-441 | Numdam | MR | Zbl

[4] S. Debièvre; P. Hislop; I.M. Sigal Scattering theory for the wave equation on non-compact manifolds, Rev. Math. Phys., Volume 4 (1992), pp. 575-618 | DOI | MR | Zbl

[5] J. Dereziński; C. Gérard Scattering theory of classical and quantum N-particle systems, Springer, 1997 | MR | Zbl

[6] J. Dimock Scattering for the wave equation on the Schwarzschild metric, Gen. Rel. Grav., Volume 17 (1985), pp. 353-369 | DOI | MR | Zbl

[7] R. Froese; P. Hislop Spectral analysis of second-order elliptic operators on noncompact manifolds, Duke Math. J., Volume 58 (1989), pp. 103-129 | MR | Zbl

[8] V. Georgescu; C. Gérard On the virial theorem in quantum mechanics, Comm. Math. Phys., Volume 208 (1999), pp. 275-281 | DOI | MR | Zbl

[9] C. Gérard; F. Nier Scattering theory for the perturbations of periodic Schrödinger operators, J. Math. Kyoto Univ., Volume 38 (1998), pp. 595-634 | MR | Zbl

[10] R.P. Geroch The domain of dependence, J. Math. Phys., Volume 11 (1970), pp. 437-449 | DOI | MR | Zbl

[11] A. Hassell; A. Vasy Symbolic functional calculus of N body resolvent estimates, J. Funct. Anal., Volume 173 (2000), pp. 257-283 | DOI | MR | Zbl

[12] L. Hörmander The analysis of linear partial differential operators 3, Springer, 1985 | Zbl

[13] T. Ikebe; J. Uchiyama On the asymptotic behavior of eigenfunctions of second-order elliptic operators, J. Math. Kyoto Univ., Volume 11 (1971), pp. 425-448 | MR | Zbl

[14] B. S. Kay Linear spin-zero quantum fields in external gravitational and scalar fields, Comm. Math. Phys., Volume 62 (1978), pp. 55-70 | DOI | MR

[15] E. Mourre Absence of singular continous spectrum for certain self-adjoint operators, Comm. Math. Phys., Volume 78 (1981), pp. 391-408 | DOI | MR | Zbl

[16] S. Reed; B. Simon Methods of modern mathematical physics 2 : Fourier Analysis, self adjointness (1975) | Zbl

Cité par Sources :