Systèmes linéaires adjoints L 2
Annales de l'Institut Fourier, Tome 49 (1999) no. 1, pp. 141-176.

Nous développons une version de la théorie d’indice L 2 d’Atiyah pour les faisceaux cohérents sur les variétés algébriques lisses et l’utilisons pour attaquer certaines questions de J. Kollár.

Soit X une variété complexe compacte projective algébrique lisse et connexe. Nous prouvons que si L est un diviseur nef et gros, tel que la restriction de K X +L à la fibre générale d’une application de Shafarevich est effective, K X +L est effectif.

Soit X une variété kählérienne compacte telle qu’il existe une classe de cohomologie de type (1,1) qui soit big et provienne du groupe fondamental de X. Nous prouvons que χ(X,K X )0. Si χ(X,K X )0, le revêtement universel de X porte une forme holomorphe L 2 de degré maximale non triviale. Si χ(X,K X )=0, nous prouvons que zéro est dans le spectre du laplacien sur les formes de degré moitié si le groupe fondamental est de croissance sous-exponentielle.

We adapt Atiyah’s L 2 -index theory to treat coherent sheaves on algebraic manifolds and use it as a tool to investigate certain questions posed by J. Kollár.

Let X be a connected projective algebraic compact complex manifold. We prove that, if L is a big and nef divisor on X, such that the restriction of K X +L to the general fiber of a Shafarevich map is effective, K X +L is effective.

Let X be a connected Kähler manifold such that some big cohomology class of type (1,1) is in the image of H 2 (π 1 (X),). We prove that χ(X,K X )0. Furthermore, if χ(X,K X ) is not 0, the universal covering space of X carries a non trivial L 2 holomorphic form of maximal degree. If χ(X,K X ) is zero, we prove that zero belongs to the spectrum of the Laplace-Beltrami operator on the middle degree forms, provided the fundamental group has subexponential growth.

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