$D^{†}\left(\infty \right)$-affinité des schémas projectifs

Huyghe, Christine

Annales de l'Institut Fourier, Tome 48 (1998) no. 4, pp. 913-956

Soient $V$ un anneau de valuation discrète complet, d’inégales caractéristiques $(0,p)$, et $𝒳$ un schéma formel projectif et lisse sur le spectre formel de $V$. Soit $𝒵$ un diviseur ample sur $𝒳$ et $𝒰$ l’ouvert affine complémentaire du diviseur. Dans cette situation, P. Berthelot a construit sur $𝒳$ un anneau d’opérateurs différentiels arithmétiques, à coefficients surconvergents le long de $𝒵$, noté $D^{†}\left(\infty \right)$. Nous montrons ici que $𝒳$ est $D^{†}\left(\infty \right)$-affine. Ce résultat renforce l’intuition que la catégorie des $D^{†}\left(\infty \right)$-modules cohérents est moralement attachée à l’ouvert $𝒰$.

Let $V$ be a discrete, complete, valuation ring of unequal characteristics $(0,p)$, and $𝒳$ a formal projective smooth scheme on the formal spectrum of $V$. Let $𝒵$ be an ample divisor on $X$, and $𝒰$ the affine open set which is the complement of $𝒵$ into $𝒳$. In this situation, Berthelot constructed the sheaf of arithmetic differential operators with overconvergent coefficients along $𝒵$, denoted by $D^{†}\left(\infty \right)$. We prove here that $𝒳$ is $D^{†}\left(\infty \right)$-affine. This result corroborates the idea that the category of coherent $D^{†}\left(\infty \right)$-modules can be viewed as attached to the affine open set $𝒰$.

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