Réseaux de Coxeter-Davis et commensurateurs
Annales de l'Institut Fourier, Volume 48 (1998) no. 3, p. 649-666

For each integer k6 and each finite graph L, we construct a Coxeter group W and a non positively curved polygonal complex A on which W acts properly cocompactly, such that each polygon of A has k edges, and the link of each vertex of A is isomorphic to L. If L is a “generalized m-gon”, then A is a Tits building modelled on a reflection group of the hyperbolic plane. We give a condition on Aut (L) for Aut (A) to be non enumerable (which is satisfied if L is a thick classical generalized m-gon). On the other hand, if L has no loops of length 3 and if 4 divides k, we prove an arithmeticity property for W: the commensurator of W in Aut (A) is dense in Aut (A).

Pour tout entier k6 et tout graphe fini L, nous construisons un groupe de Coxeter W et un complexe polygonal A simplement connexe à courbure négative ou nulle, sur lequel W agit proprement discontinûment, avec quotient compact, tel que chaque polygône de A ait k côtés, et le link de tout sommet de A est isomorphe à L. Si L est un “m-gone généralisé”, alors A est un immeuble de Tits modelé sur un groupe de réflexion du plan hyperbolique. Nous donnons une condition sur Aut (L) pour que Aut (A) soit non discret, qui est satisfaite par exemple lorsque L est un m-gone généralisé épais classique. Enfin, nous prouvons une propriété d’arithméticité de W : le commensurateur de W dans Aut (A) est dense dans Aut (A) si 4 divise k, et si L n’a pas de lacets de longueur 3 (par exemple lorsque L est un m-gone généralisé épais classique).

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Haglund, Frédéric. Réseaux de Coxeter-Davis et commensurateurs. Annales de l'Institut Fourier, Volume 48 (1998) no. 3, pp. 649-666. doi : 10.5802/aif.1633. http://www.numdam.org/item/AIF_1998__48_3_649_0/

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