Le rôle des algèbres $A$ de Wiener, $A^{\infty }$ de Beurling et $H^1$ de Sobolev dans la théorie des nombres premiers généralisés de Beurling

Kahane, Jean-Pierre

Annales de l'Institut Fourier, Tome 48 (1998) no. 3, pp. 611-648

La théorie des nombres premiers généralisés de Beurling fait intervenir $N\left(x\right)$, la fonction de décompte des entiers généralisés, $P\left(x\right)$, celle des nombres premiers généralisés, et $\zeta \left(s\right)$, la fonction dzeta adaptée. Les hypothèses sur $N\left(x\right)$ se traduisent en propriétés de $\zeta \left(s\right)$, qui entraînent ou non le “théorème des nombres premiers” (TNP) $P\left(x\right)\sim x/\log x$ ou “ l’inégalité de Tchebycheff” (IT) $P\left(x\right)=O(x/\log x)$. L’article est consacré au rôle de la fonction $it\zeta (1+it)$, en relation avec les algèbres ${\displaystyle A=ℱL^1\left(ℝ\right),A^{\infty }=\left\{f\underset{y\ge \left|x\right|}{sup}\left|\left(ℱf\right)\left(x\right)\right|\in L^1({ℝ}^{+},dy)\right\}}$ et $H^1=ℱL^2(ℝ,(1+y^2\left)dy\right)$. On montre que l’hypothèse $it\zeta (1+it)\exp (-2|t{|}^{\alpha })\in H^1$ entraîne (TNP) quand $\alpha <2$ et non quand $\alpha =2$, et que l’appartenance locale de $it\zeta (1+it)$ à $H^1$ ou $A^{\infty }$ (mais non $A$) au voisinage de 0 entraîne (IT).

The theory of Beurling’s generalized prime numbers involves $N\left(x\right)$, the counting function of the generalized integers, $P\left(x\right)$, the counting function of the generalized prime numbers, and $\zeta \left(s\right)$, the related zeta function. Assumptions on $\left(N\right(x)$ correspond to properties of $\zeta \left(s\right)$, which may or not imply the “prime number theorem” (PNT) $P\left(x\right)\sim x/\log x$ or the “Tchebycheff inequality” (TI) $P\left(x\right)=O(x/\log x)$. The article studies the role of the function $it\zeta (1+it)$, in relation with the algebras ${\displaystyle A=ℱL^1\left(ℝ\right),A^{\infty }=\left\{f\underset{y\ge \left|x\right|}{sup}\left|\left(ℱf\right)\left(x\right)\right|\in L^1({ℝ}^{+},dy)\right\}}$ et $H^1=ℱL^2(ℝ,(1+y^2\left)dy\right)$. It is shown that the assumption $it\zeta (1+it)\exp (-2|t{|}^{\alpha })\in H^1$ implies (PNT) if $\alpha <2$, but not when $\alpha =2$, and that (TI) is implied by the fact that $it\zeta (1+it)$ belongs locally to $H^1$ or $A^{\infty }$ in a neighborhood of 0, but not by the corresponding assumption with $A$ in place of $H^1$ or $A^{\infty }$.

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