Applications harmoniques entre graphes finis et un théorème de superrigidité
Annales de l'Institut Fourier, Tome 46 (1996) no. 5, pp. 1183-1203.

Nous définissons une ntoion d’énergie pour des applications entre deux graphes métriques finis et cherchons à minimiser l’énergie au sein d’une classe d’homotopie. Nous démontrons des théorèmes d’existence et d’unicité analogues à ceux de Eells-Sampson et de Hartman pour les applications harmoniques à valeurs dans les variétés à courbure négative ou nulle. Nous montrons également une propriété de stabilité des applications minimisantes par rapport aux revêtements de degré fini à la source. Une application de ces résultats est une nouvelle démonstration (élémentaire) d’un théorème de superrigidité pour les commensurateurs des réseaux uniformes d’automorphismes d’arbres.

We define the energy of a map between two finite metric graphs, and study the problem of minimizing the energy in a homotopy class. In this context, we prove analogues of Eells-Sampson’s and Hartman’s theorems concerning existence and uniqueness of harmonic maps into nonpositively curved manifolds. We also show that energy minimizing maps behave well under finite covering of the source. As an application of these results, we give a new (elementary) proof of a theorem of superrigidity for commensurability groups of tree lattices.

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Lebeau, Édouard. Applications harmoniques entre graphes finis et un théorème de superrigidité. Annales de l'Institut Fourier, Tome 46 (1996) no. 5, pp. 1183-1203. doi : 10.5802/aif.1545. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1545/

[Bas] H. Bass, Covering theory for graphs of groups, J. Pure Appl. Alg., 89 (1993), 3-47. | MR | Zbl

[BH] M. Bridson, A. Haefliger, Metric spaces of nonpositive curvature, livre en préparation. | Zbl

[BM] M. Burger, S. Mozes, CAT(-1) spaces, divergence groups and their commensurators, J. Am. Math. Soc., vol. 9, 1 (1996). | MR | Zbl

[BK] H. Bass, R. Kulkarni, Uniform tree lattices, J. Amer. Math. Soc., 3 (1990), 843-902. | MR | Zbl

[Cor] K. Corlette, Archimedian superrigidity and hyperbolic geometry, Ann. of Math., 135 (1992), 165-182. | MR | Zbl

[ES] J. Eells, J. Sampson, Harmonic mappings of Riemannian manifolds, Amer. J. Math., 85 (1964), 109-160. | MR | Zbl

[Gao] Y. Gao, Superrigidity for homomorphisms into isometry groups of non-proper CAT(-1) spaces, prépublication. | Zbl

[GH] É. Ghys, P. De La Harpe, Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov, Birkhäuser, Boston, 1990. | MR | Zbl

[GP] M. Gromov, P. Pansu, Rigidity of lattices : an introduction, in Geometric topology : recent developments, Montecatini Terme, 1990, Lecture Note 1504, 39-137. | MR | Zbl

[GS] M. Gromov, R. Schoen, Harmonic maps into singular spaces and p-adic superrigidity for lattices in groups of rank one, Publ. Math. IHES, 76 (1992), 165-246. | Numdam | MR | Zbl

[Har] P. Hartman, On homotopic harmonic maps, Can. J. Math., 19 (1967), 673-687. | MR | Zbl

[Jos] J. Jost, Riemmannian geometry and geometric analysis, Universitext, Springer-Verlag, 1995.

[KS] N.J. Korevaar, R. Schoen, Sobolev spaces and harmonic maps for metric space targets, Comm. in Anal. and Geom., vol. 1, 4 (1993), 561-659. | MR | Zbl

[LMZ] A. Lubotzky, S. Mozes, R.J. Zimmer, Superrigidity of the commensurability groups of tree lattices, Comm. Math. Helv., 69 (1994), 523-548. | MR | Zbl

[Liu] Y. Liu, Density of the commensurability groups of uniform tree lattices, J. of Alg., 165 (1994), 346-359. | MR | Zbl

[Los] J.E. Los, A variational calculus for automorphisms of free groups, prépublication Univ. Nice, janvier 1993.

[Mar] G.A. Margulis, Superrigidity for commensurability subgroups and generalized harmonic maps, prépublication.

[Pan] P. Pansu, Sous-groupes discrets des groupes de Lie : rigidité, arithméticité, Sém. Bourbaki, 46-ème année, 1993-1994, n° 778, Soc. Math. France, Astérisque, 227 (1995), 69-105. | Numdam | MR | Zbl

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