Actions localement libres de groupes résolubles
Annales de l'Institut Fourier, Volume 44 (1994) no. 5, pp. 1519-1537.

Let G be a connected (n-1)-dimensional Lie group and Φ a C r (r2) locally free action of G on a compact n-dimensional manifold (n3). We assume that the Lie algebra of G contains a field Y such that the eigenvalues of ad (Y) are α 1 ,...,α n-2 ,0 with Re (α i )<0. Then, we show that Φ is C r -conjugated to a homogeneous action of G on H/Γ where H is a Lie group containing H and Γ a lattice of H. We provide many examples, related to Anosov theory.

Soient G un groupe de Lie connexe de dimension n-1, Φ une action localement libre de classe C r (r2) de G sur une variété compacte M de dimension n3. Nous supposons qu’il existe dans l’algèbre de Lie de G un champ Y tel que les valeurs propres de ad (Y) soient α 1 ,...,α n-2 ,0 avec Re (α i )<0i. Alors, nous montrons que Φ est C r -conjuguée à une “action modèle" de G sur un espace homogène H/ΓH est un groupe de Lie contenant G. Si n4, H est uniquement déterminé par G; si n=3, il y a deux groupes H possibles, et nous pouvons donc donner une classification complète. D’autre part, nos hypothèses impliquent que G a une structure particulière, mais il existe quand même de nombreux exemples : notamment, la famille des groupes G ayant cette propriété est continue en toute dimension 4 ; pour un choix générique de G, le groupe H correspondant n’a aucun quotient compact de dimension n, et ceci fournit une famille continue de groupes de Lie ne possédant aucune action de codimension 1 “suffisamment régulière” sur une variété compacte. Ces résultats sont liés à la théorie d’Anosov.

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