Homogenization of codimension 1 actions of ${ℝ}^n$ near a compact orbit

Craizer, Marcos

Annales de l'Institut Fourier, Tome 44 (1994) no. 5, pp. 1435-1448

Let $\Phi$ be a $C^{\infty }{ℝ}^n$-action on an orientable $(n+1)$-dimensional manifold. Assume $\Phi$ has an isolated compact orbit $T$ and let $W$ be a small tubular neighborhood of it. By a $C^{\infty }$ change of variables, we can write $W={ℝ}^n/{\mathbb{Z}}^n\times I$ and $T={𝕋}^n\times \left[0\right]$, where $I$ is some interval containing 0.

In this work, we show that by a $C^0$ change of variables, $C^{\infty }$ outside $T$, we can make ${\Phi }_{|W}$ invariant by transformations of the type $(x,z)\to (x+a,z),a\in {ℝ}^n$, where $x\in {ℝ}^n/{\mathbb{Z}}^n$ and $z\in I$. As a corollary one cas describe completely the dynamics of $\Phi$ in $W$.

Soit $\Phi$ une ${ℝ}^n$-action $C^{\infty }$ sur une variété orientable de dimension $n+1$. Supposons que $\Phi$ possède une orbite compacte isolée $T$ et soit $W$ un petit voisinage tubulaire de $T$. À l’aide d’un changement de variables $C^{\infty }$, nous pouvons écrire $W={ℝ}^n/{\mathbb{Z}}^n\times I$ et $T={ℝ}^n/{\mathbb{Z}}^n\times \left[0\right]$, où $I$ est un intervalle réel contenant 0.

Dans ce travail nous montrons que par un changement de variables $C^0$, qui est $C^{\infty }$ au-dehors de $T$, nous pouvons rendre ${\Phi }_{|W}$ invariante par les transformations du type $(x,z)\to (x+a,z),a\in {ℝ}^n$, où $x\in {ℝ}^n/{\mathbb{Z}}^n$ et $z\in I$. Comme corollaire nous pouvons décrire complètement la dynamique de $\Phi$ sur $W$.

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