Koosis, Paul
Construction of a certain superharmonic majorant
Annales de l'institut Fourier, Tome 44 (1994) no. 3 , p. 729-766
Zbl 0812.31001 | MR 96j:31002
doi : 10.5802/aif.1416
URL stable : http://www.numdam.org/item?id=AIF_1994__44_3_729_0

Soit f(t)0 une fonction définie sur telle que - (f(t)/(1+t 2 ))dt< et que |f(t)-f(t )|l|t-t |; on montre comment obtenir une majorante surharmonique (finie ) sur de la fonction F(z):1 π - |𝔍z| |z-t| 2 f(t)dt-Al|𝔍z|, A étant une (grande) constante absolue. On en tire des démonstrations assez constructives des deux théorèmes principaux du multiplicateur dûs à Beurling et à Malliavin. Le procédé repose sur une version du lemme suivant qui remonte très probablement à Beurling : étant donné une fonction f(t) bornée inférieurement par une quantité >0 et telle que - (f(t)/(1+t 2 )dt<, fixons une constante α>0 et, pour chaque x, désignons par Y α (x) l’unique valeur >0 de y pour laquelle 1 π - yf(t) (x-t) 2 +y 2 dt=αy; on a alors - (Y α (x)/(1+x 2 ))dx<.
Given a function f(t)0 on with - (f(t)/(1+t 2 ))dt< and |f(t)-f(t )|l|t-t |, a procedure is exhibited for obtaining on a (finite) superharmonic majorant of the function F(z):1 π - |𝔍z| |z-t| 2 f(t)dt-Al|𝔍z|, where A is a certain (large) absolute constant. This leads to fairly constructive proofs of the two main multiplier theorems of Beurling and Malliavin. The principal tool used is a version of the following lemma going back almost surely to Beurling: suppose that f(t), positive and bounded away from 0 on , is such that - (f(t)/(1+t 2 )dt< and denote, for any constant α>0 and each x, the unique value >0 of y making 1 π - yf(t) (x-t) 2 +y 2 dt=αy by Y α (x); then - (Y α (x)/(1+x 2 ))dx<.

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