Contractions à spectre dénombrable et propriétés d'unicité des fermés dénombrables du cercle

Zarrabi, Mohamed

Annales de l'Institut Fourier, Tome 43 (1993) no. 1, pp. 251-263

On montre que si $T$ est une contraction à spectre dénombrable et telle que, pour tout $\epsilon >0$

$$\parallel T^{-1}\parallel =O(e^{\epsilon n^{1/2}}\left)\right(n\to +\infty )$$

alors $T$ est une isométrie.

On montre aussi que ce résultat est lié à une propriété d’unicité forte des fermés dénombrables du cercle unité.

We prove that if $T$ is a contraction with countable spectrum and such that, for all $\epsilon >0$

$$\parallel T^{-1}\parallel =O(e^{\epsilon n^{1/2}}\left)\right(n\to +\infty )$$

then $T$ is an isometry.

We show also that this result is related to a strong uniqueness property of countable closed subsets of the unit cercle.

[1] G.R. Allan, T.J. Ransford, Power dominated elements in Banach algebras, Studia Math., 94 (1989), 63-79. | Zbl | MR

[2] H.H. Schaefer, M. Wolff and W. Arendt, On lattice isomorphisms with positive real spectrum and groups of positive operators, Math. Z., 164 (1978), 115-123. | Zbl | MR

[3] A. Atzmon, Operators which are annihilated by analytic functions and invariant subspaces, Acta Math., 144 (1980), 27-63. | Zbl | MR

[4] J. Esterle, E. Strouse, F. Zouakia, Theorems of Katznelson Tzafriri type for contractions, à paraître au Journal of Functional Analysis. | Zbl

[5] J.P. Kahane, Y. Katznelson, Sur les algèbres de restrictions de séries de Taylor absolument convergentes à un fermé du cercle, J. Analyse Math., 23 (1970), 185-197. | Zbl | MR

[6] J.P. Kahane, R. Salem, Ensembles parfaits et séries trigonométriques, Paris, Hermann, 1963. | Zbl | MR

[7] Y. Katznelson, An introduction to harmonic analysis, Wiley, New York, 1968. | Zbl | MR

[8] M. Zarrabi, Synthèse spectrale dans certaines algèbres de Beurling sur le cercle unité, Bull. Soc. Math. France, 118 (1990), 241-249. | Zbl | MR | Numdam