A residue formula is shown for higher dimensional characteristic classes of the normal bundle to some smooth submanifold of a manifold , invariant with respect to some foliation with singularities on .
In particular, in the complex analytical case, and for foliations with complex dimension 1 of the leaves, the Chern numbers of the normal bundle to the submanifold are computed in terms of residues of Grothendieck, by mean of a formula which generalizes to the case of arbitrary complex dimensions, for and for , the residues of Camacho-Sad corresponding to the case . In fact, a more general formula is proved, which covers also the Baum-Bott residues for the Chern numbers of an holomorphic manifold with an holomorphic vector field having only isolated singularities.
Various examples are computed in the case where is the exceptional divisor for the blowing-up of a germ of vector field near a singular point.
Une formule de résidus est demontrée pour les classes caractéristiques de degré suffisamment grand du fibré normal à une sous variété lisse d’une variété , invariante relativement à un feuilletage avec singularités dans . En particulier, dans le cas analytique complexe, et pour les feuilletages dont les feuilles sont de dimension complexe 1, les nombres de Chern du fibre normal à la sous-variété sont calculés en termes de résidus de Grothendieck, par une formule qui généralise au cas de dimensions complexes arbitraires, pour et pour , les résidus de Camacho-Sad correspondant au cas . En fait, une formule plus générale est demontrée, qui coiffe aussi celle des résidus de Baum-Bott pour les nombres de Chern d’une variété holomorphe munie d’un champ de vecteurs holomorphe à singularités isolées. Divers exemples sont calculés, lorsque est le diviseur exceptionnel de l’éclatement d’un germe de champ de vecteurs au voisinage d’un point singulier.
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Lehmann, Daniel. Résidus des sous-variétés invariantes d'un feuilletage singulier. Annales de l'Institut Fourier, Volume 41 (1991) no. 1, pp. 211-258. doi : 10.5802/aif.1255. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1255/
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