Systèmes dynamiques contraints : l'approche homologique
Annales de l'Institut Fourier, Tome 37 (1987) no. 4, pp. 45-57.

On décrit une approche homologique des systèmes dynamiques contraints. Cette approche, directement inspirée des travaux de D. McMullan et de M. Henneaux concernant le formalisme de Batalin, Fradkin et Vilkovisky, contient une interprétation des fantômes et de leurs conjugués. Dans le cadre des systèmes dans l’espace des phases, la construction se fait en deux étapes. La première étape consiste à construire une algèbre différentielle graduée dont la cohomologie en degré zéro est l’espace des observables du système contraint (i.e. les fonctions sur l’espace des phases réduit). La deuxième étape consiste à identifier cette algèbre graduée à l’algèbre des “(super-)fonctions” sur un super-espace des phases et sa différentielle à une action (super-)hamiltonienne (l’hamiltonien correspondant est la charge de B.R.S.). Du point de vue mathématique, les notions-clefs utilisés (de manière élémentaire) sont les notions de complexe de Koszul, de suite spectrale et de variété symplectique graduée.

We present an analysis of constrained systems in phase space using techniques of homological algebra. This analysis, which relies to the works of D. McMullan and M. Henneaux gives an interpretation of the recipes of E.S. Fradkin and G.A. Vilkovisky for the quantization of systems with constraints. From a mathematical point of view the key notions used are the notions of Koszul complexes, spectral sequences and symplectic graded manifolds.

@article{AIF_1987__37_4_45_0,
     author = {Dubois-Violette, Michel},
     title = {Syst\`emes dynamiques contraints : l'approche homologique},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {45--57},
     publisher = {Institut Fourier},
     address = {Grenoble},
     volume = {37},
     number = {4},
     year = {1987},
     doi = {10.5802/aif.1110},
     mrnumber = {89e:58047},
     zbl = {0635.58007},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1110/}
}
TY  - JOUR
AU  - Dubois-Violette, Michel
TI  - Systèmes dynamiques contraints : l'approche homologique
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 1987
SP  - 45
EP  - 57
VL  - 37
IS  - 4
PB  - Institut Fourier
PP  - Grenoble
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1110/
DO  - 10.5802/aif.1110
LA  - fr
ID  - AIF_1987__37_4_45_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Dubois-Violette, Michel
%T Systèmes dynamiques contraints : l'approche homologique
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 1987
%P 45-57
%V 37
%N 4
%I Institut Fourier
%C Grenoble
%U http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1110/
%R 10.5802/aif.1110
%G fr
%F AIF_1987__37_4_45_0
Dubois-Violette, Michel. Systèmes dynamiques contraints : l'approche homologique. Annales de l'Institut Fourier, Tome 37 (1987) no. 4, pp. 45-57. doi : 10.5802/aif.1110. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1110/

[1] C. Becchi, A. Rouet, R. Stora, Renormalization of gauge theories, Ann. Phys. (N.Y.), 98 (1976), 287.

[2] E. S. Fradkin, G. A. Vilkovisky, Quantization of relativistic systems with constraints, Phys. Letters, 55B (1975), 224. | MR | Zbl

E. S. Fradkin, G. A. Vilkovisky, Quantization of relativistic systems with constraints, equivalence of canonical and covariant formalisms in quantum theory of gravitational field, CERN prepint, 1977. | Zbl

I. A. Batalin, G. A. Vilkovisky, Relativistic S-matrix of dynamical systems with boson and fermion constraints, Phys. Letters, 69B (1977), 309.

E. S. Fradkin, T. E. Fradkina, Quantization of relativistic system with bosons and fermion first - and second - class contraints, Phys. Letters, 72B (1978), 343.

[3] M. Henneaux, Hamiltonian form of the path integral for theories with a gauge freedom, Physics Reports, 126 (1985).

[4] D. Mcmullan, Constraints and B.R.S. symmetry, Imperial College Preprint, TP 83-84/21 (1984).

[5] D. Mcmullan, Yang-Mills theory and the Batelin-Fradkin-Vilkovisky formalism, J. Math. Phys., 28 (1987), 428. | Zbl

[6] A. D. Browning, D. Mcmullan, The Batalin, Fradkin and Vilkovisky formalism for higher-order theories, J. Math. Phys., 28 (1987), 438. | MR | Zbl

[7] J. D. Stasheff, Constrained Hamiltonians. An introduction to homological algebra in field theoretical physics, Preprint, 1986.

[8] M. Rosso, Espace des phases réduit et cohomologie B.R.S. Exposé au colloque "Applications harmoniques", Luminy, juin 1986 (à paraître).

[9] B. Kostant, S. Sternberg, Symplectic reduction, B.R.S. cohomology, and infinite dimensional Clifford algebras, Preprint, 1987.

[10] R. Abraham, J. E. Marsden, Foundations of Mechanics, Benjamin Cummings publishing company inc., 1981.

[11] N. Bourbaki, Algèbre, chapitre 10, Algèbre homologique, Masson, Paris, 1980. | Zbl

[12] W. Greub, S. Halperin, R. Vanstone, Connections, curvature and cohomology, Volume III, Academic Press, New York, 1976. | MR | Zbl

[13] B. Kostant, Graded manifolds, graded Lie theory, and prequantization, in Differential Geometrical Methods in Mathematical Physics, Lecture Notes in Mathematics, 570, Springer Verlag, 1977. | MR | Zbl

Cité par Sources :