Katz, Nicholas M.
Local-to-global extensions of representations of fundamental groups
Annales de l'institut Fourier, Tome 36 (1986) no. 4 , p. 69-106
Zbl 0564.14013 | MR 88a:14032 | 7 citations dans Numdam
doi : 10.5802/aif.1069
URL stable : http://www.numdam.org/item?id=AIF_1986__36_4_69_0

Soit K un corps de caractéristique p>0, C une courbe propre, lisse, et géométriquement connexe sur K, et 0, deux points K-rationnels de C. On montre que toute représentation du groupe de Galois local à l’infini se prolonge en une représentation du groupe fondamental de C-{0,} qui est modérément ramifiée en 0, sous l’hypothèse que soit K est séparablement clos, soit que C est P 1 . Dans ce dernier cas, on montre qu’il existe un seul tel prolongement, dit “canonique”, avec la propriété que l’image du groupe fondamental géométrique ait un seul p-sous-groupe de Sylow. Comme application, on donne une construction cohomologique globale de la représentation de Swan dans le cas d’égale caractéristique.
Let K be a field of characteristic p>0, C a proper, smooth, geometrically connected curve over K, and 0 and two K-rational points on C. We show that any representation of the local Galois group at extends to a representation of the fundamental group of C-{0,} which is tamely ramified at 0, provided either that K is separately closed or that C is P 1 . In the latter case, we show there exists a unique such extension, called “canonical”, with the property that the image of the geometric fundamental group has a unique p-Sylow subgroup. As an application, we give a global cohomological construcion of the Swan representation in equal characteristic.

Bibliographie

[Ha] D. Harbater, Moduli of p-covers of curves, Comm. in Algebra, 8, n° 12 (1980), 1095-1122. MR 82f:14010 | Zbl 0471.14011

[Ka] N. Katz, Gauss Sums, Kloosterman Sums, and Monodromy Groups, Annals of Math. Study, 113, to appear. Zbl 0675.14004

[Lau] G. Laumon, Les constantes des équations fonctionnelles des fonctions L sur un corps global de caractéristique positive, C.R. Acad. Sc., Paris, t. 298, Série 1, n° 8 (1984), 181-184. MR 85j:11170 | Zbl 0567.14016

[Le] A. H. M. Levelt, Jordan decomposition of a class of singular differential operators, Arkiv for Math., 13.1 (1975), 1-27. MR 58 #17962 | Zbl 0305.34008

[Ra] M. Raynaud, Caractéristique d'Euler-Poincaré d'un faisceau et cohomologie des variétés abéliennes, Séminaire Bourbaki 1964*1965, n° 286, W.A. Benjamin, New York, 1966. Numdam | Zbl 0204.54301

[Se-1] J.-P. Serre, Corps Locaux, deuxième édition, Hermann, Paris 1968.

[Se-2] J.-P. Serre, Représentations Linéaires des Groupes Finis, troisième édition corrigée, Hermann, Paris, 1978. MR 80f:20001 | Zbl 0407.20003

[Sh] S. Shatz, Profinite Groups, Arithmetic, and Geometry, Annals of Math. Study, 67, Princeton Univeristy Press, Princeton, 1972. MR 50 #279 | Zbl 0236.12002

Treatises.

[E.G.A.] Éléments de Géométrie Algébrique, Pub. Math. I.H.E.S., 4(I) ; 8(II) ; 11, 17(III) ; 20, 24, 28, 32(IV). Numdam |

[S.G.A.] Séminaire de Géométrie Algébrique, Springer Lecture Notes in Mathematics, 224 (SGA 1) ; 151-152-153 (SGA 3) ; 269-270-305 (SGA 4) ; 569 (SGA 4 1/2) ; 288 (SGA 7, I) ; 340 (SGA 7, II).