Deux remarques sur la géométrie symplectique de l'espace des feuilletages mesurés sur une surface
Annales de l'Institut Fourier, Volume 36 (1986) no. 2, p. 127-141

We study 2 properties of the space of measured foliations on a closed orientable surface, with respect to the piecewise-linear symplectic structure of this space, defined by Thurston:

We first prove that for a given foliation, the cone of transverses invariant measures imbeds in ℳℱ as an isotropic submanifold, recovering as a corollary a theorem due to Katok and others stating that the dimension of this cone is 3g-3, where g is the genus of the surface.

We then prove a duality formula between the differential of the intersection function i(y,·) (where γ is a simple closed curve not homotopic to a point), and a certain vectorfield defined on a subspace of where the differential makes sense; the vectorfield has a geometric interpretation as the tangent field to a 1-parameter family of homeomorphisms defined by “twisting” along the curve γ.

Cet article comprend deux parties indépendantes. On démontre d’abord que pour tout feuilletage dont les singularités sont des selles ayant au moins 3 séparatrices, sur une surface fermée orientable de genre g2, le cône des mesures transverses invariantes se plonge comme un sous-espace isotrope dans l’espace des feuilletages mesures muni de sa structure symplectique linéaire par morceaux, définie par Thurston. On en déduit une nouvelle démonstration d’un résultat essentiellement du à Katok, qui affirme que le nombre de mesures transverses invariantes indépendantes est 3g-3.

On décrit ensuit le flot hamiltonien de la fonction intersection géométrique avec une courbe simple fermée.

@article{AIF_1986__36_2_127_0,
     author = {Papadopoulos, Athanase},
     title = {Deux remarques sur la g\'eom\'etrie symplectique de l'espace des feuilletages mesur\'es sur une surface},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     publisher = {Imprimerie Durand},
     address = {28 - Luisant},
     volume = {36},
     number = {2},
     year = {1986},
     pages = {127-141},
     doi = {10.5802/aif.1052},
     zbl = {0576.57026},
     mrnumber = {87k:57023},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/item/AIF_1986__36_2_127_0}
}
Papadopoulos, Athanase. Deux remarques sur la géométrie symplectique de l'espace des feuilletages mesurés sur une surface. Annales de l'Institut Fourier, Volume 36 (1986) no. 2, pp. 127-141. doi : 10.5802/aif.1052. http://www.numdam.org/item/AIF_1986__36_2_127_0/

[1] A. J. Casson, Automorphisms of surfaces after Nielsen and Thurston, cours à l'"University of Texas at Austin", 1982-1983, notes prises par S. Bleiler.

[2] A. Fathi, F. Laudenbach, V. Poenaru, Travaux de Thurston sur les surfaces (Séminaire Orsay), Astérisque, 66-67 (1979). | Numdam | Zbl 0406.00016

[3] J. Harer et R. Penner, Combinatories of train tracks and pavings of projective lamination spaces, Preprint.

[4] A. Katok, Invariant measures of flows on oriented surfaces, Soviet Math. Dokl., 14 (1973), 1104-1108. | Zbl 0298.28013

[5] G. Levitt, Sur les mesures transverses invariantes d'un feuilletage de codimension 1, C.R.A.S., Paris, 290 (1980), 1139-1140. | MR 81g:57015 | Zbl 0459.57017

[6] G. Levitt, Feuilletages des surfaces, Thèse de doctorat d'État, Univ. Paris VII, 1983.

[7] H. Masur, Interval exchange transformations and measured foliations, Ann. of Math., 115 (1982), 169-200. | MR 83e:28012 | Zbl 0497.28012

[8] J. Plante, Foliations with measure-preserving holonomy, Ann. of Math., 102 (1975), 327-361. | MR 52 #11947 | Zbl 0314.57018

[9] A. Papadopoulos, Réseaux ferroviaires, difféomorphismes pseudo-Anosov et automorphismes symplectiques de l'homologie d'une surface, Publi. Math. Orsay, n° 83-03. | Zbl 0524.57019

[10] A. Papadopoulos, Réseaux ferroviaires et courbes simples, C.R.A.S., Paris, 297 (1983), 565-569. | MR 85a:57013 | Zbl 0548.57012

[11] W. Thurston, The geometry and topology of 3-manifolds, Notes de cours à Princeton.

[12] W. Veech, Interval exchange transformations, Jour. d'Anal. Math., 33 (1978), 222-272. | MR 80e:28034 | Zbl 0455.28006

[13] S. Wolpert, On the symplectic geometry of deformations of a hyperbolic surface, Ann. of Math., 117 (1983), 207-234. | MR 85e:32028 | Zbl 0518.30040