Translation invariant forms on ${L}^{p}\left(G\right)\left(1
Annales de l'Institut Fourier, Volume 36 (1986) no. 1, p. 97-104

It is shown that if $G$ is a connected metrizable compact Abelian group and $1, any (possibly discontinuous) translation invariant linear form on ${L}^{p}\left(G\right)$ is a scalar multiple of the Haar measure. This result extends the theorem of G.H. Meisters and W.M. Schmidt (J. Funct. Anal. 13 (1972), 407-424) on ${L}^{2}\left(G\right)$. Our method permits in fact to consider any superreflexive translation invariant Banach lattice on $G$, which is the adopted point of view. We study the representation of an element $f$ of this invariant lattice $X$ as a sum of a bounded number of elements of the form $g-\tau \left(a\right)g$, where $g$ in $X$, $a$ in $G$ and $\tau \left(a\right)$ the corresponding translation operator. Our approach consists in proving the boundedness of certain random convolution operators using interpolation techniques.

Soit $G$ un groupe abélien compact métrisable et connexe. On démontre que toute forme linéaire invariante sur ${L}^{p}\left(G\right)$, $1, est continue et donc un multiple scalaire de la mesure de Haar. Ce résultat étend un théorème dû à Meisters et Schmidt (J. Funct. Anal. 13 (1972), 407–424), pour l’espace ${L}^{2}\left(G\right)$. En fait la méthode s’applique à n’importe quel treillis invariant superréflexif de fonctions sur $G$, et c’est ce point de vue qu’on adopte. Nous étudions la représentation d’une fonction $f$ dans cet espace fonctionnel $X$ ($f$ de moyenne nulle) comme somme finie d’éléments $g-\tau \left(a\right)g$ pour $g\in X$ et $a\in G$$\tau \left(a\right)$ est l’opérateur de translation. Notre approche consiste à borner certaines opérateurs de convolution aléatoires par des méthodes d’interpolation.

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author = {Bourgain, Jean},
title = {Translation invariant forms on $L^p(G)(1<p<\infty )$},
journal = {Annales de l'Institut Fourier},
publisher = {Imprimerie Louis-Jean},
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year = {1986},
pages = {97-104},
doi = {10.5802/aif.1039},
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url = {http://www.numdam.org/item/AIF_1986__36_1_97_0}
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Bourgain, Jean. Translation invariant forms on \$L^p(G)(1



[1] A. Connes, Private communication.

[2] B. Johnson, A proof of the translation invariant form conjecture for L²(G), Bull. de Sciences Math., 107, n° 3, (1983), 301-310. | MR 85k:43003 | Zbl 0529.43003

[3] J. Lindenstrauss, L. Tzafriri, Classical Banach spaces II, Springer, 97 (1979). | MR 81c:46001 | Zbl 0403.46022

[4] G.H. Meisters, W.M. Schmidt, Translation invariant linear forms on L²(G) for compact Abelian group G, J. Funct. Anal., n° 13, (1972), 407-424. | Zbl 0247.43004

[5] G. Pisier, Some applications of the complex interpolation method to Banach lattices, J. d'Analyse Math. de Jérusalem, Vol 35 (1979), 264-281. | MR 80m:46020 | Zbl 0427.46048

[6] J. Bergh, J. Lofström, Interpolation Spaces. | Zbl 0344.46071