In the enveloping algebra of a solvable Lie algebra, one can exhibit a characteristic Weyl algebra which is canonical and maximal. There exists a canonical obstruction 2-cocycle to represent the Lie algebra as derivations of this Weyl-algebra. When the Schrödinger’s representation of the Weyl-algebra is used, one can produce an analytic primitive of this cocycle and obtain a representation of the Lie algebra as antisymmetrical differential operators of degree not bigger than two.
This representation, once exponentiated, will give the Fourier Plancherel transform of the analytic Lie group associated to the algebra.
Dans l’algèbre enveloppante d’une algèbre de Lie résoluble, on construit un anneau de Weyl caractéristique, canonique et maximal. On peut alors représenter algébriquement l’algèbre de Lie comme des dérivations de cet anneau de Weyl à condition d’effacer un 2-cocycle canonique d’obstruction. Lorsque l’on utilise la représentation de Schrödinger de l’anneau de Weyl, on peut introduire une primitive analytique du 2-cocycle et obtenir une représentation de l’algèbre de Lie par des opérateurs différentiels antisymétriques de degré au plus 2. L’exponentiation de cette représentation déterminera directement la Transformation de Fourier-Plancherel.
@article{AIF_1983__33_4_95_0, author = {Nghi\^em Xu\^an Hai}, title = {La transformation de {Fourier-Plancherel} analytique des groupes de {Lie.} {I} : alg\`ebres de {Weyl} et op\'erateurs diff\'erentiels}, journal = {Annales de l'Institut Fourier}, pages = {95--133}, publisher = {Institut Fourier}, address = {Grenoble}, volume = {33}, number = {4}, year = {1983}, doi = {10.5802/aif.942}, mrnumber = {85k:22020a}, zbl = {0498.43008}, language = {fr}, url = {http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.942/} }
TY - JOUR AU - Nghiêm Xuân Hai TI - La transformation de Fourier-Plancherel analytique des groupes de Lie. I : algèbres de Weyl et opérateurs différentiels JO - Annales de l'Institut Fourier PY - 1983 SP - 95 EP - 133 VL - 33 IS - 4 PB - Institut Fourier PP - Grenoble UR - http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.942/ DO - 10.5802/aif.942 LA - fr ID - AIF_1983__33_4_95_0 ER -
%0 Journal Article %A Nghiêm Xuân Hai %T La transformation de Fourier-Plancherel analytique des groupes de Lie. I : algèbres de Weyl et opérateurs différentiels %J Annales de l'Institut Fourier %D 1983 %P 95-133 %V 33 %N 4 %I Institut Fourier %C Grenoble %U http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.942/ %R 10.5802/aif.942 %G fr %F AIF_1983__33_4_95_0
Nghiêm Xuân Hai. La transformation de Fourier-Plancherel analytique des groupes de Lie. I : algèbres de Weyl et opérateurs différentiels. Annales de l'Institut Fourier, Volume 33 (1983) no. 4, pp. 95-133. doi : 10.5802/aif.942. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.942/
[1] Représentations des groupes de Lie résolubles, Paris, Dunod, 1972. | MR | Zbl
, , , etc.,[2] Quotients primitifs des algèbres enveloppantes et algèbres d'opérateurs différentiels, C.R.A.S., Paris, 277 (1973), 1033-1036. | MR | Zbl
,[3] Sur les Algèbres de Weyl, Bull. Sci. Math., 94 (1970), 289-301. | MR | Zbl
,[4] Fourier-integral operators II, Acta Math., 128 (1972), 183-269. | MR | Zbl
et ,[5] Fourier-integral operators, Lecture note Courant Institute of Math. Sci. New York, 1973. | MR | Zbl
,[6] Sur les corps liés aux algèbres enveloppantes des algèbres de Lie, Publ. Math. I.H.E.S., 31 (1966), 5-20. | Numdam | MR | Zbl
et ,[7] Structure des corps liés aux algèbres de Lie semi-simples déployés, Fonct. analiz i evo pril., Vol. 3, n° 1 (1969), 7-26. | Zbl
et ,[8] Fourier-integral operators I, Acta Math. ; 127 (1971), 79-183. | MR | Zbl
,[9] Réduction de produits semi-directs et conjecture de Gelfand et Kirillov, Bull. Soc. Math. France, 107 (1979), 241-267. | Numdam | MR | Zbl
,[10] Sur certaines représentations d'une algèbre de Lie résoluble complexe I, Bull. Sci. Math., 2e Série 97 (1973), 105-128. | MR | Zbl
,[11] Construction analytique de la transformation de Fourier-Plancherel des groupes de Lie. Cours de 3e Cycle Orsay, Université de Paris-Sud (1979), Publ. Math. Orsay, 79-06. | MR | Zbl
,[12] Unitary representation of solvable Lie Groups, Ann. Sci. E.N.S., 4e Série, 4 (1971), 457-608. | Numdam | MR | Zbl
,[13] Introduction to pseudodifferential operators and Fourier-integral operators. Vol. I & II, Plenum Press, New York and London, 1980. | Zbl
,Cited by Sources: