On the greatest prime factor of $n^2+1$

Il existe une infinité d’entiers $n$ tels que le plus grand facteur premier de $n^2+1$ soit au moins $n^{6/5}$. La démonstration de ce résultat combine la méthode de Hooley – pour ramener le problème à l’évaluation de sommes de Kloosterman – et la majoration de sommes de Kloosterman en moyenne obtenue par les auteurs.

There exist infinitely many integers $n$ such that the greatest prime factor of $n^2+1$ is at least $n^{6/5}$. The proof is a combination of Hooley’s method – for reducing the problem to the evaluation of Kloosterman sums – and the majorization of Kloosterman sums on average due to the authors.