Comportement à l'infini des solutions des équations de Navier-Stokes et propriété des ensembles fonctionnels invariants (ou attracteurs)
Annales de l'Institut Fourier, Volume 32 (1982) no. 3, p. 1-37

The date, i.e. the domain Ω and the driving forces f, are 𝒞 . In this paper it is shown that every solution of the time-dependent Navier-Stokes equations which is bounded in H 1 (Ω) N (N=2 or 3) on a semi-infinite time interval (t 0 +), is also bounded, as t+, in all spaces H m (Ω) N . It follows that every functional invariant set (or attractor) bounded in H 1 (Ω) N (or even H 1/2+ε (Ω) N , ε>0) is contained in 𝒞 (Ω ¯). Moreover if the driving forces are potential (i.e. f=0) then every related solution and its time-derivatives converge exponentially to 0 in all spaces H m (Ω) N , as t goes to +.

Les données, i.e. l’ouvert Ω et la force appliquée f, sont supposées de classe 𝒞. Il est montré que toute solution des équations de Navier-Stokes dans l’ouvert Ω, bornée dans H 1 (Ω) N (N=2 ou 3) sur un intervalle de temps semi-infini (t 0 +), est aussi bornée, pour t+, dans tous les espaces H m (Ω) N . Il en résulte que tout ensemble fonctionnel invariant ou attracteur borné dans H 1 (Ω)(N (ou même H 1/2+ε (Ω) N , ε>0) est porté par 𝒞 (Ω ¯). Le cas où les forces appliquées dérivent d’un potentiel (i.e. f=0) est abordé : il est montré que toute solution (ainsi que toutes ses dérivées par rapport au temps) converge dans ce cas vers 0 de façon exponentielle dans tous les espaces H m (Ω) N , quand t+.

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Guillopé, Colette. Comportement à l'infini des solutions des équations de Navier-Stokes et propriété des ensembles fonctionnels invariants (ou attracteurs). Annales de l'Institut Fourier, Volume 32 (1982) no. 3, pp. 1-37. doi : 10.5802/aif.879. http://www.numdam.org/item/AIF_1982__32_3_1_0/

[1] C. Foias, C. Guillope, R. Temam, New a priori estimates for Navier-Stokes equations in dimension 3, Comm. in Part. Diff. Eq., 6 (1981), 329-359. | MR 82f:35153 | Zbl 0472.35070

[2] C. Foias, G. Prodi, Sur le comportement global des solutions non stationnaires des équations de Navier-Stokes en dimension 2, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 39 (1967), 1-34. | Numdam | MR 36 #6764 | Zbl 0176.54103

[3] C. Foias, J.C. Saut, Limite du rapport de l'enstrophie sur l'énergie pour une solution faible des équations de Navier-Stokes, C.R.A.S., 293, série I (1981), 241-244 et Séminaire du Collège de France, éditions Pitman, à paraître. | MR 84f:35115 | Zbl 0492.35063

[4] C. Foias, R. Temam, Some analytic and geometric properties of the solutions of the evolution Navier-Stokes equations, J. Math. pures et appl., 58 (1979), 339-368. | MR 81k:35130 | Zbl 0454.35073

[5] C. Guillope, Remarques à propos du comportement, lorsque t → + ∞, des solutions des équations de Navier-Stokes associées à une force nulle, à paraître. | Numdam | Zbl 0554.35098

[6] O.A. Ladyzhenskaya, The mathematical theory of viscous incompressible flows, Gordon and Breach, New York, 1963. | MR 27 #5034b | Zbl 0121.42701

[7] J. Leray, Sur le mouvement d'un fluide visqueux emplissant l'espace, Acta Math., 63 (1934), 193-248. | JFM 60.0726.05

[8] J.L. Lions, Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non linéaires, Dunod - Gauthier-Villars, Paris, 1969. | Zbl 0189.40603

[9] J.L. Lions, E. Magenes, Problèmes aux limites non homogènes et applications, I, Dunod, Paris, 1968. | Zbl 0165.10801

[10] L. Tartar, communication personnelle.

[11] R. Temam, Navier-Stokes Equations, Theory and numerical Analysis, North-Holland, Amsterdam, 1979. | Zbl 0426.35003

[12] R. Temam, Navier-Stokes Equations and Nonlinear Analysis, Proceedings of the NSF/CBMS Regional Conference, Dekalb, 1981, à paraître.

[13] R. Temam, Behaviour at time t = 0 of the solutions of semi-linear evolution equations, Journ. Diff. Eq., 43 (1982), 73-83. | MR 83c:35058 | Zbl 0446.35057

[14] J.G. Heywood, The Navier-Stokes equations: on the existence, regularity and decay of solutions, Ind. U. Math. J., 29 (1980), 639-681. | MR 81k:35131 | Zbl 0494.35077

[15] J.G. Heywood, R. Rannacher, Finite element approximation of the nonstationary Navier-Stokes problem, Part I: Regularity of solutions and second-order estimates for spatial discretization, SIAM J. Num. An., 19 (1982), 275-311. | MR 83d:65260 | Zbl 0487.76035