Déformations d’algèbres associées à une variété symplectique (les * ν -produits)
Annales de l'Institut Fourier, Volume 32 (1982) no. 1, p. 157-209

Foundations of the theory of the * v -products. Notion of Vey * v -product; each * v -product is equivalent to a Vey * v -product. Existence of Vey * v -products on each paracompact symplectic manifold such that b 3 (W)=0. Characterization of the Lie algebras generated by a (eventually weak) * v -product; these Lie algebras are the algebras equivalent to a Vey Lie algebra.

We consider the symplectic manifolds (W,F) on which a Lie group G acts by symplectomorphisms. If (W,F) admits a G-invariant linear connection, it admits a G-invariant symplectic connection. If G is a connected compact Lie group and if (W,F) admits a * v -product, it admits a G-invariant Vey * v -product. If G is a connected Lie group, the group T * G admits a symplectic structure and a symplectic connection which are bi-invariant under G. If G is compact and if T * G admits a * v -product, T * G admits a Vey * v -product that is bi-invariant under G.

Fondements de la théorie des * v -produits. Notion de * v -produit de Vey; tout * v -produit est équivalent à un * v -produit de Vey. Sur toute variété symplectique paracompacte (W,F) telle que b 3 (W)=0, il existe des * v -produits de Vey. Caractérisation des algèbres de Lie engendrées par antisymétrisation d’un * v -produit (éventuellement faible); ce sont à une équivalence près, les algèbres de Lie de Vey.

On considère les variétés symplectiques (W,F) sur lesquelles opère, par symplectomorphismes, un groupe de Lie G. Si (W,F) admet une connexion linéaire G-invariante, elle admet une connexion symplectique G-invariante. Si G est compact connexe et si (W,F) admet un * v -produit, elle admet un * v -produit de Vey G-invariant. Si G est un groupe de Lie connexe, le groupe T * G admet une structure et une connexion symplectique bi-invariantes par G. Si G est compact et si T * G admet un * v -produit, il admet un * v -produit de Vey bi-invariant par G.

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Lichnerowicz, André. Déformations d’algèbres associées à une variété symplectique (les $*_\nu $-produits). Annales de l'Institut Fourier, Volume 32 (1982) no. 1, pp. 157-209. doi : 10.5802/aif.865. http://www.numdam.org/item/AIF_1982__32_1_157_0/

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