Déformations d’algèbres associées à une variété symplectique (les * ν -produits)
Annales de l'Institut Fourier, Tome 32 (1982) no. 1, p. 157-209
Fondements de la théorie des * v -produits. Notion de * v -produit de Vey; tout * v -produit est équivalent à un * v -produit de Vey. Sur toute variété symplectique paracompacte (W,F) telle que b 3 (W)=0, il existe des * v -produits de Vey. Caractérisation des algèbres de Lie engendrées par antisymétrisation d’un * v -produit (éventuellement faible); ce sont à une équivalence près, les algèbres de Lie de Vey.On considère les variétés symplectiques (W,F) sur lesquelles opère, par symplectomorphismes, un groupe de Lie G. Si (W,F) admet une connexion linéaire G-invariante, elle admet une connexion symplectique G-invariante. Si G est compact connexe et si (W,F) admet un * v -produit, elle admet un * v -produit de Vey G-invariant. Si G est un groupe de Lie connexe, le groupe T * G admet une structure et une connexion symplectique bi-invariantes par G. Si G est compact et si T * G admet un * v -produit, il admet un * v -produit de Vey bi-invariant par G.
Foundations of the theory of the * v -products. Notion of Vey * v -product; each * v -product is equivalent to a Vey * v -product. Existence of Vey * v -products on each paracompact symplectic manifold such that b 3 (W)=0. Characterization of the Lie algebras generated by a (eventually weak) * v -product; these Lie algebras are the algebras equivalent to a Vey Lie algebra.We consider the symplectic manifolds (W,F) on which a Lie group G acts by symplectomorphisms. If (W,F) admits a G-invariant linear connection, it admits a G-invariant symplectic connection. If G is a connected compact Lie group and if (W,F) admits a * v -product, it admits a G-invariant Vey * v -product. If G is a connected Lie group, the group T * G admits a symplectic structure and a symplectic connection which are bi-invariant under G. If G is compact and if T * G admits a * v -product, T * G admits a Vey * v -product that is bi-invariant under G.
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Lichnerowicz, André. Déformations d’algèbres associées à une variété symplectique (les $*_\nu $-produits). Annales de l'Institut Fourier, Tome 32 (1982) no. 1, pp. 157-209. doi : 10.5802/aif.865. http://www.numdam.org/item/AIF_1982__32_1_157_0/

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