Fonctions définies dans le plan et vérifiant certaines propriétés de moyenne
Annales de l'Institut Fourier, Tome 31 (1981) no. 3, pp. 115-146.

Soit a un réel de ]0,1[. Nous étudions le système d’équations de convolution suivant

( * ) x R 2 , f ( x ) = 1 4 ε = ± 1 ε = ± 1 f ( x + ( ε , ε ) ) = 1 4 ε = ± 1 ε = ± 1 f ( x + a ( ε , ε ) ) .

Nous démontrons que les exponentielles polynômes solutions de (*) sont denses dans l’espace des solutions C du système d’équations; l’idéal de (R 2 ) engendré par les transformées de Fourier des deux mesures intervenant ici est “slowly decreasing” au sens de Berenstein-Taylor. Lorsque a n’est pas un nombre de Liouville, nous montrons qu’il existe un ouvert relativement compact telle que toute solution distribution de (*) régulière sur cet ouvert l’est en fait partout. Nous étudions également le cas où a est un irrationnel de type constant.

Let a be a real number, a]0,1[. We study the following system of convolution equations

( * ) x R 2 , f ( x ) = 1 4 ε = ± 1 ε = ± 1 f ( x + ( ε , ε ) ) = 1 4 ε = ± 1 ε = ± 1 f ( x + a ( ε , ε ) ) .

We show first that the exponential-solutions of (*) are dense in the set of C solution of (*); the ideal of (R 2 ) which is generated by the Fourier transforms of the two measures linked with that problem is “slowly decreasing”, as Berenstein-Taylor define that notion. When a is not a Liouville number, we show that there is a relatively compact open set Ω such that every solution of the system (*) in (R 2 ) is regular in R 2 when it is C in Ω. We also study the case when a is of constant type.

@article{AIF_1981__31_3_115_0,
     author = {Yger, Alain},
     title = {Fonctions d\'efinies dans le plan et v\'erifiant certaines propri\'et\'es de moyenne},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {115--146},
     publisher = {Institut Fourier},
     address = {Grenoble},
     volume = {31},
     number = {3},
     year = {1981},
     doi = {10.5802/aif.841},
     mrnumber = {84e:39005},
     zbl = {0438.43010},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.841/}
}
TY  - JOUR
AU  - Yger, Alain
TI  - Fonctions définies dans le plan et vérifiant certaines propriétés de moyenne
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 1981
SP  - 115
EP  - 146
VL  - 31
IS  - 3
PB  - Institut Fourier
PP  - Grenoble
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.841/
DO  - 10.5802/aif.841
LA  - fr
ID  - AIF_1981__31_3_115_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Yger, Alain
%T Fonctions définies dans le plan et vérifiant certaines propriétés de moyenne
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 1981
%P 115-146
%V 31
%N 3
%I Institut Fourier
%C Grenoble
%U http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.841/
%R 10.5802/aif.841
%G fr
%F AIF_1981__31_3_115_0
Yger, Alain. Fonctions définies dans le plan et vérifiant certaines propriétés de moyenne. Annales de l'Institut Fourier, Tome 31 (1981) no. 3, pp. 115-146. doi : 10.5802/aif.841. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.841/

[1] E.F. Beckenbach et M. Reade, Mean Values and Harmonic polynomials, Trans. Amer. Math. Soc., 53 (1943), 230-238. | MR | Zbl

[2] C.A. Berenstein et B.A. Taylor, Interpolation problems in Cn with applications to Harmonic Analysis, J. Analyse. Math., Vol. 38 (1980). | MR | Zbl

[3] J. Delsarte, Note sur une propriété nouvelle des fonctions harmoniques, C.R.A.S., 246 (1958), 1358-1359. | MR | Zbl

[4] J. Delsarte, Théorie des fonctions moyenne-périodiques de deux variables, Ann. Math., 72 (1960), 121-178. | MR | Zbl

[5] L. Ehrenpreis, Fourier Analysis in several complex variables, Tracts in Math., 17, Wiley-Intersc., (1970). | MR | Zbl

[6] A. Friedman, Mean Values and polyharmonic polynomials, Michigan Math. Journal, 4 (1957), 67-74. | MR | Zbl

[7] L. Gruman, The area of analytic varieties in CN, Math. Scand., 41 (1977). | MR | Zbl

[8] D.I. Gurevich, Counterexamples to a problem of L. Schwartz, Funct. Analysis and its applications (traduit du russe). Russian original, Vol. 9, n° 2, 1975, traduction anglaise, 93-182, 1975, p. 116-120. | Zbl

[9] S. Hansen, Uniqueness of the Cauchy problem for convolution operators, J. reine angew. Math., 317 (1980). | MR | Zbl

[10] E. Kregelius-Petersen et G.H. Meirsters, Non Liouville Numbers and a theorem of Hörmander, Journal of Functional Analysis, 29 (1978), 142-150. | Zbl

[11] S. Lang, Introduction to Diophantine Approximations, Addison-Wesley Publ. Co., 1966. | MR | Zbl

[12] Y. Meyer, Remarques sur un théorème de J. Delsarte, Ann. Inst. Fourier, 26, 2 (1976), 133-152. | Numdam | MR | Zbl

[13] Y. Meyer, Algebraic Numbers and Harmonic Analysis, North-Holland Publ. Co. 1972. | MR | Zbl

[14] M. Okada, Une estimation modifiée du type de Bezout pour les applications holomorphes équidimensionnelles entières de Cn, C.R.A.S., Paris, t 291, Série A (7 juillet 1980). | MR | Zbl

[15] R.D. Richtmyer, On the structure of some distributions discovered by Meirsters, Journal of functional Analysis, 9 (1972), 336-348. | MR | Zbl

[16] F. Riesz et B. Sz. Nagy, Leçons d'Analyse fonctionnelle, 6e édition, Gauthier-Villars, Paris 1972.

[17] H. Skoda, Application des techniques L2 à la théorie des idéaux d'une algèbre de fonctions holomorphes avec poids, Ann. scient. ec. Norm. sup., 4e série, 5, n° 4 (1972), 545-579. | Numdam | MR | Zbl

[18] B.A. Taylor et J.J. Kelleher, Finitely generated ideals in rings of analytic fonctions, Math. Ann., 193 (1971), 225-237. | MR | Zbl

[19] J.L. Walsh, A mean Value theorem for polynomials and Harmonic polynomials, Bull. Amer. Math. Soc., 42 (1936), 923-930. | JFM | Zbl

[20] A. Yger, Une généralisation d'un théorème de J. Delsarte, C.R.A.S., Paris, 288, série A (1979), 497. | MR | Zbl

[21] A. Yger, Fonctions définies dans le plan et moyennes en tout point de leurs valeurs aux sommets de deux carrés, C.R.A.S., Paris, 288, série A (1979), 535. | MR | Zbl

[22] A. Yger, Propriétés de certains systèmes d'équations de convolution dans R2, C.R.A.S., Paris, 289, série A (1979), 169. | MR | Zbl

[23] A. Yger, Fonctions moyenne périodiques de deux variables ; étude des systèmes d'équations de convolution envisagés par J. Delsarte, Séminaire d'Analyse Harmonique, Orsay, 1976-1977.

Cité par Sources :