Fonctions définies dans le plan et vérifiant certaines propriétés de moyenne
Annales de l'Institut Fourier, Volume 31 (1981) no. 3, p. 115-146

Let $a$ be a real number, $a\in \right]0,1\left[$. We study the following system of convolution equations

$\left(*\right)\phantom{\rule{2em}{0ex}}\phantom{\rule{1em}{0ex}}\forall x\in {\mathbf{R}}^{2},\phantom{\rule{3.33333pt}{0ex}}\phantom{\rule{3.33333pt}{0ex}}f\left(x\right)=\frac{1}{4}\sum _{\genfrac{}{}{0pt}{}{\epsilon =±1}{{\epsilon }^{\prime }=±1}}f\left(x+\left(\epsilon ,{\epsilon }^{\prime }\right)\right)=\frac{1}{4}\sum _{\genfrac{}{}{0pt}{}{\epsilon =±1}{{\epsilon }^{\prime }=±1}}f\left(x+a\left(\epsilon ,{\epsilon }^{\prime }\right)\right).$

We show first that the exponential-solutions of $\left(*\right)$ are dense in the set of ${C}^{\infty }$ solution of $\left(*\right)$; the ideal of ${ℰ}^{\prime }\left({\mathbf{R}}^{2}\right)$ which is generated by the Fourier transforms of the two measures linked with that problem is “slowly decreasing”, as Berenstein-Taylor define that notion. When $a$ is not a Liouville number, we show that there is a relatively compact open set $\Omega$ such that every solution of the system $\left(*\right)$ in ${ℰ}^{\prime }\left({\mathbf{R}}^{2}\right)$ is regular in ${\mathbf{R}}^{2}$ when it is ${C}^{\infty }$ in $\Omega$. We also study the case when $a$ is of constant type.

Soit $a$ un réel de $\right]0,1\left[$. Nous étudions le système d’équations de convolution suivant

$\left(*\right)\phantom{\rule{2em}{0ex}}\phantom{\rule{1em}{0ex}}\forall x\in {\mathbf{R}}^{2},\phantom{\rule{3.33333pt}{0ex}}\phantom{\rule{3.33333pt}{0ex}}f\left(x\right)=\frac{1}{4}\sum _{\genfrac{}{}{0pt}{}{\epsilon =±1}{{\epsilon }^{\prime }=±1}}f\left(x+\left(\epsilon ,{\epsilon }^{\prime }\right)\right)=\frac{1}{4}\sum _{\genfrac{}{}{0pt}{}{\epsilon =±1}{{\epsilon }^{\prime }=±1}}f\left(x+a\left(\epsilon ,{\epsilon }^{\prime }\right)\right).$

Nous démontrons que les exponentielles polynômes solutions de $\left(*\right)$ sont denses dans l’espace des solutions ${C}^{\infty }$ du système d’équations; l’idéal de ${ℰ}^{\prime }\left({\mathbf{R}}^{2}\right)$ engendré par les transformées de Fourier des deux mesures intervenant ici est “slowly decreasing” au sens de Berenstein-Taylor. Lorsque $a$ n’est pas un nombre de Liouville, nous montrons qu’il existe un ouvert relativement compact telle que toute solution distribution de $\left(*\right)$ régulière sur cet ouvert l’est en fait partout. Nous étudions également le cas où $a$ est un irrationnel de type constant.

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author = {Yger, Alain},
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Yger, Alain. Fonctions définies dans le plan et vérifiant certaines propriétés de moyenne. Annales de l'Institut Fourier, Volume 31 (1981) no. 3, pp. 115-146. doi : 10.5802/aif.841. http://www.numdam.org/item/AIF_1981__31_3_115_0/

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