Fonctions définies dans le plan et vérifiant certaines propriétés de moyenne
Annales de l'Institut Fourier, Volume 31 (1981) no. 3, p. 115-146

Let a be a real number, a]0,1[. We study the following system of convolution equations

(*)xR2,f(x)=14ε=±1ε=±1f(x+(ε,ε))=14ε=±1ε=±1f(x+a(ε,ε)).

We show first that the exponential-solutions of (*) are dense in the set of C solution of (*); the ideal of (R 2 ) which is generated by the Fourier transforms of the two measures linked with that problem is “slowly decreasing”, as Berenstein-Taylor define that notion. When a is not a Liouville number, we show that there is a relatively compact open set Ω such that every solution of the system (*) in (R 2 ) is regular in R 2 when it is C in Ω. We also study the case when a is of constant type.

Soit a un réel de ]0,1[. Nous étudions le système d’équations de convolution suivant

(*)xR2,f(x)=14ε=±1ε=±1f(x+(ε,ε))=14ε=±1ε=±1f(x+a(ε,ε)).

Nous démontrons que les exponentielles polynômes solutions de (*) sont denses dans l’espace des solutions C du système d’équations; l’idéal de (R 2 ) engendré par les transformées de Fourier des deux mesures intervenant ici est “slowly decreasing” au sens de Berenstein-Taylor. Lorsque a n’est pas un nombre de Liouville, nous montrons qu’il existe un ouvert relativement compact telle que toute solution distribution de (*) régulière sur cet ouvert l’est en fait partout. Nous étudions également le cas où a est un irrationnel de type constant.

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Yger, Alain. Fonctions définies dans le plan et vérifiant certaines propriétés de moyenne. Annales de l'Institut Fourier, Volume 31 (1981) no. 3, pp. 115-146. doi : 10.5802/aif.841. http://www.numdam.org/item/AIF_1981__31_3_115_0/

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