Quotients de fonctions définies-négatives et synthèse spectrale
Annales de l'Institut Fourier, Volume 30 (1980) no. 4, p. 75-96

We consider the space E=L 2 (Ψ 2 .Ψ 1 -1 dx) where Ψ 2 and Ψ 1 are two real and continuous negative-definite functions on R n . We study the following problem: Can we approximate, with respect to the norm of E, each element ϕ of E by linear combinations of elements of E which are Fourier transforms of positive measures having their support included in the spectrum of ϕ? Using potential theory’s methods, we give an affirmative answer (under some additional hypothesis), and thus we extend to the case of R n results which were proved by Beurling-Deny in the case of the torus T.

On considère l’espace E=L 2 (Ψ 2 .Ψ 1 -1 dx)Ψ 2 et Ψ 1 sont deux fonctions définies-négatives, réelles et continues sur R n . On étudie la possibilité d’approcher, au sens de la norme de E, tout élément ϕ de E par des combinaisons linéaires d’éléments de E qui sont transformés de Fourier de mesures positives de support inclus dans le spectre de ϕ. Des méthodes de théorie du potentiel permettent de donner une réponse positive (sous certaines hypothèses additionnelles). On obtient ainsi des généralisations, au cas de R n , de résultats démontrés par Beurling-Deny dans le cas du tore T.

@article{AIF_1980__30_4_75_0,
     author = {Hirsch, Francis},
     title = {Quotients de fonctions d\'efinies-n\'egatives et synth\`ese spectrale},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     publisher = {Imprimerie Durand},
     address = {28 - Luisant},
     volume = {30},
     number = {4},
     year = {1980},
     pages = {75-96},
     doi = {10.5802/aif.809},
     zbl = {0427.31010},
     mrnumber = {82f:43005},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/item/AIF_1980__30_4_75_0}
}
Hirsch, Francis. Quotients de fonctions définies-négatives et synthèse spectrale. Annales de l'Institut Fourier, Volume 30 (1980) no. 4, pp. 75-96. doi : 10.5802/aif.809. http://www.numdam.org/item/AIF_1980__30_4_75_0/

[1] A. Beurling, Sur les spectres des fonctions, Colloque d'Analyse Harmonique, C.N.R.S., Nancy 1947, 9-29. | MR 11,429g | Zbl 0040.21102

[2] A. Beurling et J. Deny, Dirichlet spaces, Proc. Nat. Ac. Sc., 45 (1959), 208-215. | MR 21 #5098 | Zbl 0089.08201

[3] J. Deny, Les potentiels d'énergie finie, Acta Math., 82 (1950), 107-183. | MR 12,98e | Zbl 0034.36201

[4] J. Deny, Sur la définition de l'énergie en théorie du potentiel, Ann. Inst. Fourier, 2 (1950), 83-99. | Numdam | MR 13,459d | Zbl 0042.33602

[5] J. Deny, Méthodes hilbertiennes en théorie du potentiel, Cours du CIME, Stresa, 1969. | Zbl 0212.13401

[6] F. Hirsch, Principes du maximum pour les noyaux de convolution, Séminaire de théorie du Potentiel, Paris n° 4, pp. 113-136. Lecture Notes n° 713, Springer. | MR 80m:31009 | Zbl 0408.31012

[7] F. Hirsch, Principe complet du maximum et principe complet du maximum relatif, Potential theory Copenhagen 1979, Lecture Notes n° 787, Springer, 144-158. | MR 82e:31016 | Zbl 0429.31008

[8] J. P. Kahane, Quotients de fonctions définies-négatives (d'après Beurling-Deny), Séminaire Bourbaki, 19e année, 1966/1967, n° 315. | Numdam | Zbl 0193.39602

[9] L. Schwartz, Théorie des distributions, Hermann-Paris, 1966. | Zbl 0149.09501