Quelques curieuses topologies sur $M_{\mu }\left(T\right)$ et $M_{\beta }\left(T\right)$

Buchwalter, Henri

Annales de l'Institut Fourier, Tome 27 (1977) no. 2, pp. 61-77

Pour tout compact complètement régulier $T$, on désigne par $M_{\beta }\left(T\right)$ l’espace des mesures de Radon sur le compactifié de Stone-Cech $\beta T$ de $T$ et par $M_{\sigma }\left(T\right)$ son sous-espace formé des mesures $\sigma$-régulières au sens de Varadarajan. On décrit alors sur ces deux espaces des topologies ${\mathbf{T}}_p$, $1\le p\le +\infty$, qui possèdent des propriétés curieuses parmi lesquelles il convient de citer la suivante : pour $1<p\le +\infty$ et pour tout $T$ non pseudocompact, l’espace $\left(M_{\sigma }\right(T),{\mathbf{T}}_p)$ est non quasi-complet mais ses précompacts sont relativement compacts. Ce résultat permet en particulier la construction explicite de telles topologies sur l’espace $l^1=l^1\left(N\right)$.

For any completely regular Hausdorff space $T$, let $M_{\beta }\left(T\right)$ be the space of Radon measures on the Stone-Cech compactification $\beta T$ of $T$ and $M_{\sigma }\left(T\right)$ its subspace of $\sigma$-regular measures in the sense of Varadarajan. We describe on these two spaces some topologies ${\mathbf{T}}_p$, $1\le p\le +\infty$, which possess curious properties. For example, if $1<p\le +\infty$ and if $T$ is not pseudocompact, the space $\left(M_{\sigma }\right(T),{\mathbf{T}}_p)$ is not quasi-complete but its closed totally bounded subsets are compact. This result gives in particular an explicit construction of such topologies on the space $l^1=l^1\left(N\right)$.

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