Opérateurs dissipatifs et semi-groupes dans les espaces de fonctions continues
Annales de l'Institut Fourier, Volume 26 (1976) no. 4, p. 1-97

Let X be a locally compact space. Any dissipative operator densely defined in C 0 (X) is a limit of bounded dissipative operators. When X is an homogeneous space then this result allows us to prove that any invariant dissipative and densely defined operator on C 0 (X) extends itself into the infinitesimal generator of an invariant semigroup in C 0 (X).

To every operator A which satisfies to the positive maximum principle in C 0 (X,R) and so that D(A) is rich enough, is associated a bilinear operator B called “opérateur carré du champ" which is defined as follows:

f,gD(A),B(f,g)=A(fg)-fA(g)-gA(f).

B satisfies to the remarkable property that for any positive bounded measure μ on X,(f,g)B(f,g)dμ is a Dirichlet form on D(A).

If A is the local generator of a Feller’s semigroup in C 0 (X), the restriction of A to Ω is defined for any sufficiently regular open set Ω. This restriction is the generator of a Feller’s semigroup in C 0 (Ω).

Soit X un espace localement compact. Tout opérateur dissipatif de domaine dense dans C 0 ((X) est limite d’opérateurs dissipatifs bornés. Ce résultat permet, dans le cas où X est un espace homogène, de démontrer que tout opérateur dissipatif, de domaine dense et invariant sur C 0 (X) se prolonge en le générateur infinitésimal d’un semi-groupe à contraction invariant sur C 0 (X).

À tout opérateur A vérifiant le principe du maximum positif sur C 0 (X,R) et de domaine assez riche, on associe un opérateur bilinéaire B, appelé opérateur carré du champ, défini par

f,gD(A),B(f,g)=A(fg)-fA(g)-gA(f).

B vérifie la propriété remarquable suivante : pour toute mesure positive bornée μ sur X,(f,g)B(f,g)dμ est une forme de Dirichlet définie sur D(A).

Si A est le générateur local d’un semi-groupe de Feller sur C 0 (X), on définit, pour des ouverts Ω de X suffisamment réguliers, la restriction de A à Ω. Cette restriction est le générateur d’un semi-groupe de Feller sur C 0 (Ω).

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Roth, Jean-Pierre. Opérateurs dissipatifs et semi-groupes dans les espaces de fonctions continues. Annales de l'Institut Fourier, Volume 26 (1976) no. 4, pp. 1-97. doi : 10.5802/aif.632. http://www.numdam.org/item/AIF_1976__26_4_1_0/

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