Real algebraic actions on projective spaces - A survey
Annales de l'Institut Fourier, Volume 23 (1973) no. 2, p. 135-150

Let G be a compact lie group. We introduce the set S G (Y) for every smooth G manifold Y. It consists of equivalence classes of pair (X,f) where f:XY is a G map which defines a homotopy equivalence from X to Y. Two pairs (X i ,f i ), for i=0,1, are equivalent if there is a G homotopy equivalence ϕ:X 0 X 1 such that f 0 is G homotopic to f 1 ϕ.

Properties of the set S G (Y) and related to the representation of G on the tangent spaces of X and Y at the fixed points. For the case G=S 1 and Y is the S 1 manifold defined by a “linear” S 1 action on complex projective n space CP n , we exhibit non-trivial elements of S S 4 (Y) by discussing a real algebraic action of S 1 on CP n with isolated fixed points such that the collection of representations of S 1 on the tangent spaces at the isolated fixed points as distinct from the collection of representations occurring for any “linear” S 1 action on CP n .

Soit G un groupe de Lie compact. Pour toute G-variété différentiable Y on introduit l’ensemble S G (Y) des classes d’équivalence de couples (X,f)f:XY est une G-application et une équivalence d’homotopie, deux couples (X i ,f i ), i=0,1, étant équivalents s’il existe une G-équivalence d’homotopie ϕ:X 0 X 1 telle que f 0 soit G-homotope à f 1 ϕ.

Les propriétés de l’ensemble S G (Y) dépendent des représentations de G dans les espaces tangents à X et Y en les points fixes de G.

Dans le cas où G est S 1 , et où Y est la G-variété définie par une action “linéaire” de S 1 sur l’espace projectif complexe CP n , on exhibe un élément non trivial de S S 4 (Y) en introduisant une action algébrique réelle de S 1 sur CP n ayant des points fixes isolés et telle que la famille des représentations de S 1 dans les espaces tangents en ces points fixes soit distincte de toute famille de représentations provenant d’une action “linéaire” de S 1 sur CP n .

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Petrie, Ted. Real algebraic actions on projective spaces - A survey. Annales de l'Institut Fourier, Volume 23 (1973) no. 2, pp. 135-150. doi : 10.5802/aif.464. http://www.numdam.org/item/AIF_1973__23_2_135_0/

[1] M. F. Atiyah and R. Bott, A Lefschitz fixed point formula for elliptic complexes II, Applications, Vol. 88 (1968), 451-491. | MR 38 #731 | Zbl 0167.21703

[2] M. F. Atiyah and G. Segal, Equivarient K-theory and completion, J. Diff. Geom. (3) (1968), 1-18. | MR 41 #4575 | Zbl 0215.24403

[3] M. F. Atiyah and I. Singer, The index of elliptic operators I, III. Annals of Math. (2) 87 (1968), 484-530 and 546-604. | MR 38 #5243 | Zbl 0164.24001

[4] T. Petrie, S1 actions on homotopy complex projective spaces. Bull. AMS (78) 2, March 1972, 105-153. | MR 45 #6029 | Zbl 0247.57010

[5] T. Petrie, Exotic S1 actions on CP3 and related to appear. | Zbl 0243.57020

[6] T. Petrie, Torus actions on homotopy complex projective spaces to appear. | Zbl 0262.57021

[7] T. Petrie, Real algebraic S' actions on complex projective spaces to appear.