Real algebraic actions on projective spaces - A survey
Annales de l'Institut Fourier, Volume 23 (1973) no. 2, p. 135-150

Let $G$ be a compact lie group. We introduce the set ${\mathbf{S}}_{G}\left(Y\right)$ for every smooth $G$ manifold $Y$. It consists of equivalence classes of pair $\left(X,f\right)$ where $f:X\to Y$ is a $G$ map which defines a homotopy equivalence from $X$ to $Y$. Two pairs $\left({X}_{i},{f}_{i}\right)$, for $i=0,1$, are equivalent if there is a $G$ homotopy equivalence $\varphi :{X}_{0}\to {X}_{1}$ such that ${f}_{0}$ is $G$ homotopic to ${f}_{1}\circ \varphi$.

Properties of the set ${\mathbf{S}}_{G}\left(Y\right)$ and related to the representation of $G$ on the tangent spaces of $X$ and $Y$ at the fixed points. For the case $G={S}^{1}$ and $Y$ is the ${S}^{1}$ manifold defined by a “linear” ${S}^{1}$ action on complex projective $n$ space $\mathbf{C}{\mathbf{P}}^{n}$, we exhibit non-trivial elements of ${\mathbf{S}}_{{S}^{4}}\left(Y\right)$ by discussing a real algebraic action of ${S}^{1}$ on $\mathbf{C}{\mathbf{P}}^{n}$ with isolated fixed points such that the collection of representations of ${S}^{1}$ on the tangent spaces at the isolated fixed points as distinct from the collection of representations occurring for any “linear” ${S}^{1}$ action on $\mathbf{C}{\mathbf{P}}^{n}$.

Soit $G$ un groupe de Lie compact. Pour toute $G$-variété différentiable $Y$ on introduit l’ensemble ${\mathbf{S}}_{G}\left(Y\right)$ des classes d’équivalence de couples $\left(X,f\right)$$f:X\to Y$ est une $G$-application et une équivalence d’homotopie, deux couples $\left({X}_{i},{f}_{i}\right)$, $i=0,1$, étant équivalents s’il existe une $G$-équivalence d’homotopie $\varphi :{X}_{0}\to {X}_{1}$ telle que ${f}_{0}$ soit $G$-homotope à ${f}_{1}\circ \varphi$.

Les propriétés de l’ensemble ${\mathbf{S}}_{G}\left(Y\right)$ dépendent des représentations de $G$ dans les espaces tangents à $X$ et $Y$ en les points fixes de $G$.

Dans le cas où $G$ est ${S}^{1}$, et où $Y$ est la $G$-variété définie par une action “linéaire” de ${S}^{1}$ sur l’espace projectif complexe $\mathbf{C}{\mathbf{P}}^{n}$, on exhibe un élément non trivial de ${\mathbf{S}}_{{S}^{4}}\left(Y\right)$ en introduisant une action algébrique réelle de ${S}^{1}$ sur $\mathbf{C}{\mathbf{P}}^{n}$ ayant des points fixes isolés et telle que la famille des représentations de ${S}^{1}$ dans les espaces tangents en ces points fixes soit distincte de toute famille de représentations provenant d’une action “linéaire” de ${S}^{1}$ sur $\mathbf{C}{\mathbf{P}}^{n}$.

@article{AIF_1973__23_2_135_0,
author = {Petrie, Ted},
title = {Real algebraic actions on projective spaces - A survey},
journal = {Annales de l'Institut Fourier},
publisher = {Imprimerie Durand},
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pages = {135-150},
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Petrie, Ted. Real algebraic actions on projective spaces - A survey. Annales de l'Institut Fourier, Volume 23 (1973) no. 2, pp. 135-150. doi : 10.5802/aif.464. http://www.numdam.org/item/AIF_1973__23_2_135_0/

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[2] M. F. Atiyah and G. Segal, Equivarient K-theory and completion, J. Diff. Geom. (3) (1968), 1-18. | MR 41 #4575 | Zbl 0215.24403

[3] M. F. Atiyah and I. Singer, The index of elliptic operators I, III. Annals of Math. (2) 87 (1968), 484-530 and 546-604. | MR 38 #5243 | Zbl 0164.24001

[4] T. Petrie, S1 actions on homotopy complex projective spaces. Bull. AMS (78) 2, March 1972, 105-153. | MR 45 #6029 | Zbl 0247.57010

[5] T. Petrie, Exotic S1 actions on CP3 and related to appear. | Zbl 0243.57020

[6] T. Petrie, Torus actions on homotopy complex projective spaces to appear. | Zbl 0262.57021

[7] T. Petrie, Real algebraic S' actions on complex projective spaces to appear.