L'intégration par rapport à une mesure de Radon vectorielle
Annales de l'Institut Fourier, Tome 20 (1970) no. 2, p. 55-191
Cet article concerne une méthode nouvelle de prolongement d’une mesure de Radon μ:H(T)E, à un espace de fonctions scalaires L 1 (μ), et l’étude détaillée de ce prolongement. L’outil essentiel est la “semi-variation” associée à μ dans le cas où E est un espace normé, une notion qui a son origine à la fois dans la semi-variation ensembliste de Bartle, Dunford et Schwartz (Canad. J. of Math., t. 7 (1955), 289-305), (New York, London, Interscience Publishers, 1958), et dans l’intégrale supérieure essentielle de Bourbaki (2e édition, 5, 6. Paris, Hermann, 1956, 1965) dont la “semi-variation” est une généralisation. On examine les conditions de validité des théorèmes de convergence usuels et l’on caractérise les espaces E tels que ces conditions sont vérifiées pour une mesure de Radon μ:H(T)E arbitraire. Le théorème d’Orlicz et des généralisations nouvelles de ce théorème sont appliqués pour obtenir des caractérisations de L 1 (μ) en termes de fonctions scalairement μ-intégrales. On caractérise les espaces E pour lesquels toute fonction scalairement μ-intégrable est μ-intégrable, établissant ainsi un lien entre (R.G. Bartle, N. Dunford and J. Schwartz, Canad. J. of Math., t. 7 (1955), 289-305) et (Nicolas Bourbaki, 2e édition, 5, 6. Paris, Hermann, 1956, 1965). Application est faite à l’étude des bi-mesures ce qui permet d’améliorer certains résultats de Morse et Transue (Annals of Mathematics, vol. 64, no 3 (1956)). On considère l’intégration de fonctions vectorielles par rapport à une mesure de Radon vectorielle et l’on aborde l’étude du produit tensoriel de deux mesures vectorielles.
This article concerns a new method of extension of a Radon measure μ:H(T)E, to a space of scalar functions L 1 (μ), and the detailed study of this extension. The essential tool is the “semi-variation” of μ in the case where E is a normed space, a concept that has it’s origin in the set theoretic semi-variation of Bartle, Dunford and Schwartz (Canad. J. of Math., t. 7 (1955), 289-305), (New York, London, Interscience Publishers, 1958), as well as in the essential superior integral of Bourbaki (2e édition, 5, 6. Paris, Hermann, 1956, 1965) of which this “semi-variation” is a generalisation. Conditions for the validity of the usual convergence theorems are given and a characterisation is given of the spaces E such that an arbitrary Radon measure μ:H(T)E satisfies this condition . Orlicz theorem and new generalisations of it (Appendice II) are applied to obtain caracterisations of L 1 (μ) in terms of scalarly μ-integrable functions. The spaces E for which any scalarly μ-integrable function is μ-integrable are characterised , which establishes a connection between (R.G. Bartle, N. Dunford and J. Schwartz, Canad. J. of Math., t. 7 (1955), 289-305) and (Nicolas Bourbaki, 2e édition, 5, 6. Paris, Hermann, 1956, 1965). Application is made to the study of bi-measures leading to improvements of certain results of Morse and Transue (Annals of Mathematics, vol. 64, no 3 (1956)). The integration of vector-valued functions with respect to vector-valued measures is also considered, as well as the tensor product of two vector-valued measures.
@article{AIF_1970__20_2_55_0,
     author = {Thomas, Erik},
     title = {L'int\'egration par rapport \`a une mesure de Radon vectorielle},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     publisher = {Imprimerie Durand},
     address = {28 - Luisant},
     volume = {20},
     number = {2},
     year = {1970},
     pages = {55-191},
     doi = {10.5802/aif.352},
     zbl = {0195.06101},
     mrnumber = {57 \#3348},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/item/AIF_1970__20_2_55_0}
}
Thomas, Erik. L'intégration par rapport à une mesure de Radon vectorielle. Annales de l'Institut Fourier, Tome 20 (1970) no. 2, pp. 55-191. doi : 10.5802/aif.352. https://www.numdam.org/item/AIF_1970__20_2_55_0/

[1] R. G. Bartle, N. Dunford and J. Schwartz, Weak compactness and vector measures, Canad. J. of Math., t. 7 (1955), 289-305. | MR 16,1123c | Zbl 0068.09301

[1 bis] C. Bessaga et A. Pelczynski, On bases and unconditional convergence of series in Banach spaces. Studia Mathematica T. XVII (1958). | MR 22 #5872 | Zbl 0084.09805

[2] Nicolas Bourbaki, Intégration, Chapitres 1-4, 2e édition, 5, 6. Paris, Hermann, 1956, 1965.

[3] J. Deny, Les Potentiels d'Énergie finie, Acta Mathematica, 82 (1950), 107-183. | MR 12,98e | Zbl 0034.36201

[4] J. Dieudonné, Sur la convergence de suites de Mesures de Radon Anais da Acad. Bras. Ciencias, 23 (1951) 81-115. | MR 13,121a | Zbl 0043.11202

[5] N. Dinculeanu, Vector Measures (Pergamon Press). | Zbl 0142.10502

[6] N. Dunford, Uniformity in Linear Spaces, Trans. Amer. Math. Soc., vol. 44 (1938), 305-356. | JFM 64.0371.01 | MR 1501971 | Zbl 0019.41604

[7] N. Dunford and B. J. Pettis, Linear Operations on Summable Functions, Trans. Amer. Math. Soc., vol. 47 (1940), 323-392. | JFM 66.0556.01 | MR 1,338b | Zbl 0023.32902

[8] N. Dundord and J. Schwartz, Linear Operators. vol. I : General Theory. New York, London, Interscience Publishers, (1958). | Zbl 0084.10402

[9] G. Fox, Extension of a bounded vector measure with values in a reflexive Banach space, Bull. Canad. Math. 10, n° 4, (1967) 525-529. | MR 37 #1552 | Zbl 0186.46501

[10] A. Grothendieck, Sur les applications linéaires faiblement compactes d'espaces du type C(K), Canad. J. of Math., t. 5, (1953), 129-173. | MR 15,438b | Zbl 0050.10902

[11] W. Hackenbroch, Integration vektorwertiger Funktionen nach operatorwertigen Maben, Math. Zeitschr. 105, 327-344 (1968). | MR 40 #2813 | Zbl 0179.17803

[12] M. Morse and W. Transue, C-Bimeasures and their integral extensions, Annals of Mathematics, vol. 64, n° 3 (1956). | MR 19,127d | Zbl 0073.27302

[12 bis] A. Pelczynski, Projections in certain Banach spaces. Studia Mathematica T. XIX (1960). | MR 23 #A3441 | Zbl 0104.08503

[13] J. B. Pettis, On Integration in Vector Spaces. Trans. Amer. Math. Soc. vol. 44 (1938), 277-304. | JFM 64.0371.02 | MR 1501970 | Zbl 0019.41603

[14] R. S. Phillips, On linear Transformations, Trans. Amer. Math. Soc., vol. 48 (1940), 516-541. | JFM 66.0554.01 | MR 2,318c | Zbl 0025.34202

[15] L. Schwartz, Sous-espaces Hilbertiens d'espaces vectoriels topologiques et Noyaux associés, Journal d'Analyse Mathématique, vol. XIII (1964).

[16] E. Thomas, L'intégration par rapport à une mesure de Radon vectorielle, Séminaire Choquet (Initiation à l'Analyse), 7e année, 1967-1968, n° B.10. | Numdam | Zbl 0184.17701