Sur les singularités des formes différentielles
Annales de l'Institut Fourier, Tome 20 (1970) no. 1, pp. 95-178.

On étudie, sur le modèle de la théorie des singularités d’applications différentiables, les singularités des formes différentielles extérieures sur une variété différentiable. Les invariants fondamentaux utilisés sont le rang et la classe (au sens de E. Cartan) d’une forme différentielle. On étudie leur comportement générique à l’aide des théorèmes de transversalité. Par exemple, l’ensemble des points d’une variété de dimension n où la classe d’une forme de Pfaff est égale à n-c est génériquement une sous-variété de codimension c(c+1) 2.

On étudie quelques singularités d’ordre supérieur pour les petites dimensions de la variété (1-formes en dimension 3, 2-formes en dimension 4). Puis on montre l’existence de modèles pour les singularités les plus simples des 1-formes et des 2-fermées.

In this paper, the singularities of exterior differential forms on a manifold are studied from a view-point analogous to the classical theory of singularities of differentiable mappings. The main invariants considered are the rank and the class (in E. Cartan’s sense) of an exterior differential form. The generic behaviour of these invariants is studied by means of the transversality theorems. For instance, the set of points of a n-dimensional manifold, where the class of a one-form is n-c, is generically a regular submanifold of codimension c(c+1) 2. Higher order singularities are studied in some detail in the case of low dimensions (1-forms in 3 dimensions and 2-forms in 4 dimensions). Then is proved the existence of models for the simplest singularities of 1-forms and closed 2-forms.

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[1] R. Abraham and J. Robbin, Transversal mappings and flows. Benjamin, New-York, 1967. | MR | Zbl

[2] N. Bourbaki, Algèbre — Chap. 3, Algèbre multilinéaire. Hermann, Paris 1958.

[3] E. Cartan, Les systèmes différentiels extérieurs et leurs applications géométriques, Hermann, Paris 1945. | MR | Zbl

[4] S.S. Chern, The geometry of G-structures. Bull. Amer. Math. Soc., 72, 1966, 167-219. | MR | Zbl

[5] C. Godbillon, Géométrie différentielle et mécanique analytique, Hermann, Paris 1969. | MR | Zbl

[6] E. Goursat, Leçons sur le problème de Pfaff, Hermann, Paris 1922. | JFM

[7] John W. Gray, Some global properties of contact structures, Ann. Math. 69, 2, 1959, 421-450. | MR | Zbl

[8] A. Haefliger et A. Kosinski, Un théorème de Thom sur les singularités des applications différentiables, Séminaire H. Cartan, Ecole Normale Sup., Paris, Exposé 8, 1956/1957. | Numdam | Zbl

[9] H.I. Levine, Singularities of differentiable mappings, Bonn, 1959.

[10] P. Libermann, Forme canonique d'une forme différentielle extérieure quadratique fermée, Bull. Ac. Roy. Belg. Cl. Sc. (5), 39, 1953, 846-850. | MR | Zbl

[11] Jean Martinet, Classe et points critiques d'une forme de Pfaff, C.R. Acad. Sc., Paris, t. 264, 1967, 97-99. | Zbl

[12] Jean Martinet, Sur quelques singularités de formes différentielles admettant des modèles locaux, C.R. Acad. Sc., Paris, t. 266, 1968, 1 246-48. | MR | Zbl

[13] J. Mather, Stability of C∞-mappings V. Transversality (à paraître). | Zbl

[14] J. Moser, On the volume elements on a manifold, Bull. Am. Math. Soc., 1965, 286-294. | MR | Zbl

[15] R. Thom, Les singularités des applications différentiables. Ann. Inst. Fourier, Grenoble, VI, 1956, 43-87. | Numdam | MR | Zbl

[16] R. Thom, Un lemme sur les applications différentiables. Bol. Soc. Mat. Mexic, 2a Serie, t. 1, 1956, 59-71. | MR | Zbl

[17] H. Whitney, On singularities of mappings of euclidean spaces, I. Mappings of the plane into the plane. Ann. Math. 62, 3, 1955, 374-410. | MR | Zbl

[18] S. Sternberg, Lectures on differential geometry, Prentice-Hall édit. U.S.A., 1964. | MR | Zbl

[19] H. Whitney, Analytic extensions for differentiable functions defined on closed sets. Trans. Amer. Math. Soc., t. 36, 1934, 63-89. | JFM | MR | Zbl

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