Espaces d'interpolation et théorème de Soboleff
Annales de l'Institut Fourier, Volume 16 (1966) no. 1, p. 279-317

Cet article appartient à une série d’articles où l’on donnera des applications concrètes de certains espaces d’interpolation introduits ailleurs. On commence par démontrer le théorème classique selon lequel la transformation de Hilbert dans R 1 applique l’espace des fonctions lipschitziennes d’exposant donné dans lui-même. Puis on traite, par la même technique, la généralisation de la transformation de Hilbert dans R n ainsi que la transformation de potentiel ; dans ce dernier cas on retrouve des résultats également classiques dus à Hardy - Littlewood - Soboleff - Thorin. On donne aussi plusieurs démonstrations et variantes du théorème de plongement de Soboleff, une application au théorème d’interpolation de Stampacchia, etc.

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Peetre, Jaak. Espaces d'interpolation et théorème de Soboleff. Annales de l'Institut Fourier, Volume 16 (1966) no. 1, pp. 279-317. doi : 10.5802/aif.232. http://www.numdam.org/item/AIF_1966__16_1_279_0/

[1] A. P. Calderón et A. Zygmund, On the existence of certain singular integrals, Acta Math., 88 (1952), 85-139. | MR 14,637f | Zbl 0047.10201

[2] S. Campanato, Teoremi de interpolazione per transformazioni che applicano Lp in Ch, α, Ann. Scuola Norm. Sup., Pisa, 18 (1964), 345-360. | Numdam | MR 30 #441 | Zbl 0135.35102

[3] S. Campanato et M. K. V. Murthy, Una generalizzazione del teorema di Riesz-Thorin, Ann. Scuola Norm. Sup., Pisa, 19 (1965), 87-100. | Numdam | MR 31 #5090 | Zbl 0145.16301

[4] M. Cotlar, A combinatorial inequality and its applications to L2 spaces, Revista Mat. Cuyana, 1 (1955), 41-55. | MR 18,219a | Zbl 0071.33301

[5] M. Cotlar, A unified theory of Hilbert transforms and ergodic theorems, Revista Mat. Cuyana, 1 (1955), 105-167. | MR 18,893d | Zbl 0071.33402

[6] M. Cotlar, Condiciones de continuidad de operadores potentiales y de Hilbert, Cursos y seminarios de matematica, Fascículo 2, Universidade de Buenos Aires, 1959. | MR 22 #6985 | Zbl 0094.10101

[7] M. Cotlar et R. Panzone, Generalized potential operators, Revista Un. Mat. Argentina, 19 (1960), 3-41. | MR 24 #A842 | Zbl 0107.32703

[8] E. Gagliardo, Proprietà di alcune classi di funzioni in più variabili, Ricerche Mat., 7 (1958), 102-137. | MR 21 #1526 | Zbl 0089.09401

[9] P. Grisvard, Commutativité de deux foncteurs d'interpolation et applications, Thèse, Paris (1965).

[10] G. H. Hardy et J. E. Littlewood, Some properties of fractional integral. I, II, Math. Z., 28 (1928), 565-606, 34 (1931), 403-439. | JFM 54.0275.05 | Zbl 0003.15601

[11] L. Hörmander, Estimates for translation invariant operators in Lp spaces, Acta Math., 104 (1960), 93-140. | Zbl 0093.11402

[12] J. L. Lions, Théorèmes de trace et d'interpolation. I, II, Ann. Scuola Norm. Sup., Pisa, 13 (1959), 389-403, 15 (1960), 317-331 ; III, J. Math. Pures Appl., 42 (1963), 195-203 ; IV, Math. Ann., 151 (1963), 42-56 ; V, Acad. Brasil Ciensas, 35 (1963), 1-10. | Numdam | Zbl 0121.32804

[13] J. L. Lions, Sur les espaces d'interpolation ; dualité, Math. Scand., 9 (1961), 147-177. | Zbl 0103.08102

[14] J. L. Lions et J. Peetre, Sur une classe d'espaces d'interpolation, Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci., 19 (1964), 5-68. | Numdam | MR 29 #2627 | Zbl 0148.11403

[15] S. G. Michlin, Sur les multiplicateurs des intégrales de Fourier, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 109 (1956), 701-203, (en russe). | Zbl 0073.08402

[16] S. G. Michlin, Intégrales de Fourier et intégrales singulières multiples, Vestnik Leningrad. Univ. Ser. Mat. Mech. Astr., 12 (1957), 143-155, (en russe). | Zbl 0092.31701

[17] C. B. Morrey, Functions of several variables and absolute continuity, Duke Math. J., 6 (1940), 187-215. | JFM 66.1225.01 | MR 1,209a | Zbl 0026.39401

[18] S. M. Nikolskii, Sur les théorèmes de plongement, de prolongement et d'approximation des fonctions différentiables de plusieurs variables, Uspechi Mat. Nauk SSSR, 16, 5 (1961) 55-104, (en russe). | MR 26 #6757 | Zbl 0269.26011

[19] L. Nirenberg, On elliptic partial differential equations, Ann. Scuola Norm. Sup., Pisa, 13 (1959), 115-162. | Numdam | MR 22 #823 | Zbl 0088.07601

[20] R. O'Neil, Convolution operators and L(p, q) spaces, Duke Math. J., 30 (1963), 129-142. | MR 26 #4193 | Zbl 0178.47701

[21] J. Peetre, Nouvelles propriétés d'espaces d'interpolation, C. R. Acad. Sci., Paris, 256 (1963), 54-55. | Zbl 0129.08401

[22] J. Peetre, A theory of interpolation of normed spaces, Cours, Brasília (1963).

[23] J. Peetre, On the theory of interpolation spaces, Revista Un. Mat. Argentina. | Zbl 0179.17503

[24] J. Peetre, Espaces d'interpolation, généralisations, applications, Rend. Sem. Mat. Fis., Milano, 34 (1964), 133-161. | Zbl 0151.17902

[25] J. Peetre, Etude de quelques méthodes d'interpolation. (manuscrit inédit).

[26] J. Peetre, Applications de la théorie des espaces d'interpolation dans l'analyse harmonique. (à paraître aux Ricerche Mit.). | Zbl 0154.15302

[27] J. Peetre, Applications de la théorie des espaces d'interpolation aux développements orthogonaux. (à paraître). | Numdam | Zbl 0145.39702

[28] M. Riesz, Sur les fonctions conjuguées, Math. Z., 27 (1927), 218-244. | JFM 53.0259.02

[29] L. Schwartz, Théorie des distributions, Paris, 1950-1951. | Zbl 0042.11405

[30] E. Shamir, Mixed boundary value problems for elliptic equations in the plane. The Lp theory, Ann. Scuola Norm. Sup., Pisa, 17 (1963), 117-139. | Numdam | MR 28 #329 | Zbl 0117.07002

[31] E. Shamir, Reduced Hilbert transforms and singular integral equations, J. Anal. Math., 12 (1964), 277-305. | MR 29 #2617 | Zbl 0173.14502

[32] S. Soboleff, Sur un théorème d'analyse fonctionnelle, Mat. Sbornik, 4 (46) (1938), 471-497. (en russe). | JFM 64.1100.02 | Zbl 0022.14803

[33] G. Stampacchia, L(p, λ) spaces and interpolation, Comm. Pure Appl. Math., 17 (1964), 293-306. | MR 31 #2608 | Zbl 0149.09201

[34] M. H. Taibleson, On the theory of Lipschitz spaces of distributions on Euclidean n-space. I. Principal properties, J. Math. Mech., 13 (1964), 407-419. | MR 29 #462 | Zbl 0132.09402

[35] C. O. Thorin, Convexity theorems, Thèse, Lund, 1948 (Medd. Lunds Univ. Mat. Sem., 9 (1948), 1-57). | Zbl 0034.20404

[36] J. Peetre, On convolution operators leaving Lp, λ spaces invariant. (à paraître aux Ann. Mat. Pura Appl.). | Zbl 0149.09102

[37] S. Spanne, Sur l'interpolation entre les espaces LpФk. (à paraître aux Ann. Scuola Norm. Sup., Pisa). | Numdam | Zbl 0203.12403

[38] G. Stampacchia, The spaces L(p, λ), N(p, λ) and interpolation, Ann. Scuola Norm. Sup., Pisa, 19 (1965), 443-462. | Numdam | MR 33 #7840 | Zbl 0149.09202

[39] M. H. Taibleson, On the theory of Lipschitz spaces of distributions on Euclideau n-space. II. Translation invariant operators, duality, and interpolation, J. Math. Mech., 14 (1965), 821-839. | MR 31 #5087 | Zbl 0132.09402

[40] M. H. Taibleson, The preservation of Lipschitz spaces under singular integral operators. Studia Math., 24 (1964), 107-111. | MR 28 #5332 | Zbl 0123.08405