À tout ensemble d’entiers positifs, on attache un nombre , éventuellement infini nommé fréquence de cet ensemble et mesurant la longueur relative des tranches d’entiers consécutifs de cet ensemble. La notion de fréquence présente peu de rapport avec celle de densité et par exemple un ensemble et son complémentaire peuvent être tous deux de fréquence infinie.
Les deux principaux résultats sont alors les suivants :
1.- Soit algébrique. La condition nécessaire et suffisante pour qu’existe un ensemble de fréquence infinie et un nombre réel tels que :
(où , étant l’entier le plus voisin de ) est que soit un entier algébrique dont tous les conjugués sont à l’intérieur ou sur le cercle unité.
2.- Soit une fonction entière de type exponentiel telle que :
si est entier quand parcourt un ensemble de fréquence infinie, alors est un polynôme.
Le premier résultat donne une caractérisation commune des nombres de Pisot et de Salem. Sa réciproque délicate à établir dans le dernier cas montre en outre que l’on peut toujours construire un ensemble tel que l’ensemble des correspondants ait la puissance du continu, bien que de mesure de Lebesgue nulle. Si est un nombre de Salem, une application presque directe du théorème de Roth montre en outre que les en question sont transcendants.
@article{AIF_1966__16_1_159_0, author = {Rauzy, G\'erard}, title = {Suites partiellement r\'ecurrentes (applications \`a la r\'epartition modulo 1 et aux propri\'et\'es arithm\'etiques des fonctions analytiques)}, journal = {Annales de l'Institut Fourier}, pages = {159--234}, publisher = {Institut Fourier}, address = {Grenoble}, volume = {16}, number = {1}, year = {1966}, doi = {10.5802/aif.230}, mrnumber = {34 #161}, zbl = {0151.04501}, language = {fr}, url = {http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.230/} }
TY - JOUR AU - Rauzy, Gérard TI - Suites partiellement récurrentes (applications à la répartition modulo 1 et aux propriétés arithmétiques des fonctions analytiques) JO - Annales de l'Institut Fourier PY - 1966 SP - 159 EP - 234 VL - 16 IS - 1 PB - Institut Fourier PP - Grenoble UR - http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.230/ DO - 10.5802/aif.230 LA - fr ID - AIF_1966__16_1_159_0 ER -
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Rauzy, Gérard. Suites partiellement récurrentes (applications à la répartition modulo 1 et aux propriétés arithmétiques des fonctions analytiques). Annales de l'Institut Fourier, Volume 16 (1966) no. 1, pp. 159-234. doi : 10.5802/aif.230. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.230/
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