Essais de géométrie riemannienne hyperbolique globale. Applications à la relativité générale

Avez, André

Annales de l'Institut Fourier, Tome 13 (1963) no. 2, pp. 105-190

On se propose d’étudier les variétés d’Einstein compactes en signature hyperbolique normale et plus particulièrement la validité du principe de Mach. Une première méthode consiste à elliptiser certains problèmes en associant à une métrique hyperbolique normale une métrique elliptique. On montre ainsi qu’un espace-temps compact et stationnaire est localement euclidien s’il est extérieur, à constante cosmologique positive s’il est feuilleté par des sections d’espace compactes et schématise un fluide parfait. Un contre-exemple montre que l’hypothèse sur le feuilletage est essentielle.

Après avoir établi un théorème du type Hopf-Rinow, la technique de Myers montre que les variétés complètes à métrique hyperbolique normale, et à courbure de Ricci bornée inférieurement par un nombre positif, ont leurs géodésiques temporelles de longueur bornée et leurs lacets temporels homotopes à zéro.

On montre l’existence sur une variété périodique close d’une section d’espace compacte, de classe $C^2$, et d’aire maximum. Cela permet de démontrer que si un espace-temps périodique clos est extérieur, il est localement euclidien ; s’il schématise un fluide parfait sa constante cosmologique est positive.

La dernière partie tente l’extension de la théorie de Hodge-de-Rham en signature quelconque. On est conduit à discerner deux types de décomposition : ou bien l’espace $F$ des $p$-formes est la somme directe $\mathbf{S}$ de l’espace des $p$-formes homologues à zéro, de celui des $p$-formes cohomologues à zéro, et de celui des $p$-formes fermées et cofermées, ou bien $\mathbf{S}$ est dense dans $F$ au sens de la convergence faible. Ces notions permettent la généralisation de différents résultats classiques en signature elliptique.

[1] D. Aufenkamp, C. R. Acad. Sci., 232, 1951, 213-214. | Zbl

[2] A. Avez, C. R. Acad. Sci., 240, 1955, 485-487. | Zbl

[3] L. Bel, La radiation gravitationnelle, C.D.U. et S.E.D.E.S., 5, Place de la Sorbonne, Paris.

[4] A. Lichnerowicz, Théorie globale des connections et des groupes d'holonomie, Dunod, Paris. | Zbl

[5] A. Lichnerowicz, Théories relativistes de la gravitation et de l'électromagnétisme, Masson, Paris. | Zbl

[6] A. Lichnerowicz, Problèmes globaux en mécanique relativiste, Hermann, Paris, 1939. | Zbl | MR

[7] A. Lichnerowicz, Géométrie des groupes de transformations, Dunod, Paris. | Zbl

[8] G. De Rham, Variétés différentiables, Hermann, Paris.

[9] N. Steenrod, The topology of fibre bundles, Princeton, University Press, qui emprunte ses démonstrations à C. Ehresmann. C. R. Acad. Sci., 216, 1943, 628.

[1] A. Avez, C. R. Acad. Sci., 250, 1960, 3585-3587. | Zbl

[2] P. Bidal et G. De Rham, Comm. Math. Helv., 19, 1946-1947.

[3] C. Ehresmann, Colloque de topologie algébrique (espaces fibrés), Bruxelles, 1951.

[4] M. Frechet, Sur le prolongement des fonctionnelles semi-continues et sur l'aire des surfaces courbes, Fund. Math, Vol. 7, 1925, 210-224. | JFM

[5] P. Gillis, Sur les problèmes réguliers du calcul des variations de la forme I(z) = ∫Dn F(pi) d (xi) = minimum, Studia Mathematica, 8, 1939, 68-77. | Zbl | JFM

[6] Haar, Mathematische Annalen, 97, 1927, 124-158. | JFM

[7] A. Lichnerowicz, Théorie globale des connections et des groupes d'holonomie, Dunod, Paris. | Zbl

[8] A. Lichnerowicz, L'intégration des équations de la gravitation relativiste et le problème des n corps, Journ. de Math., t. 23, Fasc. 1, 1944. | Zbl | MR | Numdam

[9] C. B. Morrey, Ann. Math. Studies, N° 33, Princeton, 1954, 101-159. | Zbl

[10] Myers, Riemannian manifolds in the large, Duke Math., vol 1, 1935, 42-43. | Zbl | JFM

[11] J. Nash, Proc. nat. Acad. Sc. U.S.A., 43, 1957, 754-758. | Zbl

[12] Synge, On the neighborhood of a geodesic in riemannian space. Duke Math, vol. 1, 1935. | Zbl

[1] A. Avez, Conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une variété soit un espace d'Einstein, C. R. Acad. Sci., 248, 1959. | Zbl | MR

[2] A. Avez, Théorie de Hodge de Rham en métriques de signature quelconque C. R. Acad. Sci., 249, 1959 et 250, 1960. | Zbl | MR

[3] L. Bel, La radiation gravitationnelle. C.D.U. et S.E.D.E.S., 5, place de la Sorbonne, Paris, Ve.

[4] P. Bidal et G. De Rham, Les formes différentielles harmoniques, Comm. Math. Helv., 19, 1946-1947. | Zbl | MR

[5] A. Lichnerowicz, Problèmes globaux en mécanique relativiste. Hermann, Paris, 1939. | Zbl | MR

[6] A. Lichnerowicz, Théorie globale des connexions et des groupes d'holomonie, Dunod, Paris.

[7] A. Lichnerowicz, Géométrie des groupes de transformations, Dunod, Paris. | Zbl

[8] L. Schwartz, Théorie des distributions, t. I et II, Hermann, Paris, 1951. | Zbl | MR

[9] N. Steenrod, The topology of fibre bundles. Princeton mathematical séries, 14. | Zbl | MR