Espaces variationnels et mécanique
Annales de l'Institut Fourier, Volume 12 (1962), p. 1-124

Ce travail est essentiellement consacré aux systèmes dynamiques Σ non conservatifs, la force généralisée dépendant à la fois des paramètres de position x α et de vitesse y α .

V désignant l’espace-temps de configuration, V l’espace fibré des vecteurs tangents, W celui des directions tangentes à V, on caractérise Σ par son lagrangien homogène L et le tenseur-force S antisymétrique dont le produit contracté par le vecteur vitesse donne le vecteur force généralisé.

Dans la première partie, on étudie l’algèbre H des formes semi-basiques sur V ou W ; on définit en particulier une antidérivation d ˙, endomorphisme de degré 1 de H, intervenant dans le calcul variationnel classique. On introduit ensuite la notion de S-extrémale de L relativement au champ tensoriel semi-basique S et on considère sur V une connexion linéaire de directions se ramenant pour S=0 à la connexion finslérienne définie par L, et dont les géodésiques sont les S-extrémales de L.

Dans la deuxième partie, on montre que le système des équations du mouvement est le système associé de la 2-forme :

Ω=d(d˙L)+12Sαβdxαdxβ.

On en déduit le théorème généralisant le théorème classique d’E. Cartan : la différence des circulations du vecteur vitesse le long de deux 1-cycles homotopes C 0 et C 1 entourant un même tube de trajectoires T est égale au flux du tenseur-force à travers la 2-chaîne de T de bord C 0 -C 1 .

Les trajectoires de Σ sont les S-extrémales de L (principe d’Hamilton généralisé) ou les géodésiques d’un espace S-finslérien.

Étude des cas où Ω est fermée et où Ω admet un facteur intégrant.

Les systèmes dynamiques à liaisons non holonomes parfaites sont caractérisés par le principe de moindre courbure.

Dans le dernier chapitre, on montre l’intérêt qu’il y a en Relativité Générale d’introduire la notion de tenseur-force.

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Klein, Joseph. Espaces variationnels et mécanique. Annales de l'Institut Fourier, Volume 12 (1962) pp. 1-124. doi : 10.5802/aif.120. http://www.numdam.org/item/AIF_1962__12__1_0/

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